3 Sistemi di equazioni lineari e come risolverli

il equazioni lineari sono equazioni polinomiali con una o più incognite. In questo caso, le incognite non sono elevate ai poteri, né si moltiplicano tra loro (in questo caso si dice che l'equazione è di grado 1 o di primo grado).

Un'equazione è un'uguaglianza matematica dove c'è uno o più elementi sconosciuti che chiameremo sconosciuti o sconosciuti nel caso ce ne sia più di uno. Per risolvere questa equazione è necessario scoprire il valore delle incognite.

Un'equazione lineare ha la seguente struttura:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+ ... + a_n· X_n= b

Dove₀, a₁, a₂, ..., a_n sono numeri reali di cui conosciamo il loro valore e sono chiamati coefficienti, b è anche un numero reale noto che è chiamato termine indipendente. E infine sono X₁, X_2,..., X_n quali sono conosciuti come sconosciuti. Queste sono le variabili il cui valore è sconosciuto.

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni lineari in cui il valore delle incognite è lo stesso in ogni equazione.

Logicamente, il modo per risolvere un sistema di equazioni lineari è assegnare valori agli sconosciuti, in modo che l'uguaglianza possa essere verificata. Cioè, le incognite devono essere calcolate in modo che tutte le equazioni nel sistema siano soddisfatte contemporaneamente. Rappresentiamo un sistema di equazioni lineari come segue

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ + ... + a_n· X_n = a_{n + 1}

B₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ + ... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ + ... + c_n· X_n = c_{n + 1}

… .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ + ... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 dove a_0, a₁, ..., a_n, b₀, b₁, ..., b_n , c₀ , c₁, ..., c_n ecc. numeri reali e le incognite da risolvere sono X₀, ..., X_n , X_{n + 1}.

Ogni equazione lineare rappresenta una linea e quindi un sistema di equazioni di N equazioni lineari rappresenta N linee disegnate nello spazio.

A seconda del numero di incognite che ogni equazione lineare ha, la linea che rappresenta detta equazione sarà rappresentata in una dimensione diversa, cioè un'equazione con due incognite (ad esempio, 2 · X₁ + X₂ = 0) rappresenta una linea in uno spazio bidimensionale, un'equazione con tre incognite (ad esempio 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) sarebbe rappresentato in uno spazio tridimensionale e così via.

Quando si risolve un sistema di equazioni, i valori di X₀, ..., X_n , X_{n + 1} sono i punti tagliati tra le linee.

Risolvendo un sistema di equazioni possiamo raggiungere conclusioni diverse. A seconda del tipo di risultato che otteniamo, possiamo distinguere tra 3 tipi di sistemi di equazioni lineari:

1- Compatibilità indeterminata

Sebbene sembri uno scherzo, è possibile che quando proviamo a risolvere il sistema di equazioni, arriveremo ad uno stile ovvio 0 = 0.

Questo tipo di situazione si verifica quando ci sono infinite soluzioni per il sistema di equazioni, e questo si verifica quando si scopre che nel nostro sistema di equazioni le equazioni rappresentano la stessa linea. Possiamo vederlo graficamente:

Come sistema di equazioni prendiamo:

Avendo 2 equazioni con 2 incognite da risolvere possiamo rappresentare le linee in un piano bidimensionale

Come possiamo vedere le linee con esso, quindi tutti i punti della prima equazione coincidono con quelli della seconda equazione, quindi ha tanti punti di taglio quanti punti ha la linea, cioè infiniti.

2- Incompatibile

Leggendo il nome possiamo immaginare che il nostro prossimo sistema di equazioni non avrà una soluzione.

Se proviamo a risolvere, per esempio, questo sistema di equazioni

Graficamente sarebbe:

Se moltiplichiamo tutti i termini della seconda equazione, otteniamo che X + Y = 1 è uguale a 2 · X + 2 · Y = 2. E se quest'ultima espressione viene sottratta dalla prima equazione, otteniamo

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

O che cosa è lo stesso

0 = 1

Quando siamo in questa situazione significa che le linee che sono rappresentate nel sistema di equazioni sono parallele, il che significa che, per definizione, non vengono mai tagliate e non vi è alcun punto di taglio. Quando un sistema viene presentato in questo modo, si dice che sia incoerente indipendente.

3- Supporto risoluto

Infine arriviamo al caso in cui il nostro sistema di equazioni ha un'unica soluzione, il caso in cui abbiamo linee che si intersecano e generano un punto di intersezione. Vediamo un esempio:

Per risolverlo possiamo aggiungere le due equazioni in modo da ottenere

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Se semplifichiamo, ce ne siamo andati

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Da cui deduciamo facilmente che X = 2 e sostituendo o X = 2 in una qualsiasi delle equazioni originali otteniamo Y = 3.

Visivamente sarebbe:

Metodi per risolvere sistemi di equazioni lineari

Come abbiamo visto nella sezione precedente, per sistemi con 2 incognite e 2 equazioni, basati su operazioni semplici come addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e sostituzione, possiamo risolverli in pochi minuti.Ma se proviamo ad applicare questa metodologia a sistemi con più equazioni e più incognite, i calcoli diventano tediosi e possiamo facilmente sbagliare.

Per semplificare i calcoli ci sono diversi metodi di risoluzione, ma indubbiamente i metodi più diffusi sono la Regola di Cramer e l'Eliminazione di Gauss-Jordan.

Metodo Cramer

Per spiegare come viene applicato questo metodo è essenziale sapere che cosa il vostro matrice e trovare il proprio know determinante, fare una parentesi per definire questi due concetti.

un matrice non è altro che un insieme di numeri o simboli algebrici posti in linee orizzontali e verticali e disposti a forma di rettangolo. Per il nostro tema useremo la matrice come un modo più semplice per esprimere il nostro sistema di equazioni.

Vediamo un esempio:

Sarà il sistema di equazioni lineari

Questo semplice sistema di equazioni che possiamo riassumere è l'operazione di due matrici 2 × 2 che risulta in una matrice 2 × 1.

La prima matrice corrisponde a tutti i coefficienti, la seconda matrice è l'incognita da risolvere e la matrice localizzata dopo che l'uguaglianza è identificata con i termini indipendenti delle equazioni

il determinante è un'operazione che viene applicata a una matrice il cui risultato è un numero reale.

Nel caso della matrice che abbiamo trovato nel nostro esempio precedente, il suo determinante sarebbe:

Una volta definiti i concetti di matrice e determinante, possiamo spiegare in cosa consiste il metodo Cramer.

Con questo metodo, si può facilmente risolvere un sistema di equazioni lineari finché il sistema non supera tre equazioni con tre incognite quanto il calcolo dei determinanti di una matrice è molto difficile per matrici 4 × 4 o superiore. Nel caso di un sistema con più di tre equazioni lineari, si raccomanda il metodo di eliminazione Gauss-Jordan.

Continuando con l'esempio precedente, per mezzo di Cramer dobbiamo semplicemente calcolare due determinanti e con esso troveremo il valore delle nostre due incognite.

Abbiamo il nostro sistema:

E abbiamo un sistema rappresentato da matrici:

Il valore di X è stato trovato:

Semplicemente nel calcolo del determinante collocato nel denominatore della divisione, abbiamo sostituito il primo comune per la matrice di termini indipendenti. E al denominatore della divisione abbiamo il determinante della nostra matrice originale.

Eseguendo gli stessi calcoli per trovare la Y otteniamo:

Eliminazione di Gauss-Jordan

Noi definiamo matrice estesa alla matrice risultante da un sistema di equazioni in cui aggiungiamo i termini indipendenti alla fine della matrice.

Se continuiamo con il nostro esempio

La nostra matrice estesa sarebbe:

Il metodo per eliminazione di Gauss-Jordan consiste, per mezzo di operazioni tra le righe della matrice, di trasformare la nostra matrice estesa in una matrice molto più semplice in cui ho zeri in tutti i campi eccetto la diagonale, dove devo ottenerne alcuni. Come segue:

Dove X e Y sarebbero numeri reali che corrispondono alle nostre incognite.

Risolviamo questo sistema eliminando Gauss-Jordan:

moltiplicare la prima riga per 2 e la seconda riga per 3

Se sottraiamo la prima riga dalla prima riga, otteniamo

Siamo già riusciti a ottenere uno zero nella parte in basso a sinistra della nostra matrice, il passo successivo è quello di ottenere uno 0 nella parte in alto a destra di esso.

Ho diviso la prima riga tra 2 e la seconda riga tra 10 per semplificare i numeri moltiplicato la seconda riga per 2

Mi unisco alla seconda fila il secondo

Abbiamo raggiunto uno 0 nell'angolo in alto a sinistra della matrice, ora dobbiamo solo convertire la diagonale in una e abbiamo già risolto il nostro sistema con Gauss-Jordan.

Ho diviso la prima riga per 3 e la seconda l'ho divisa per 4

Quindi arriviamo alla conclusione che:

riferimenti

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Sistemi di equazioni lineari (senza data). Recuperato da uco.es.
4. Sistemi di equazioni lineari. Capitolo 7. (non datato). Estratto da sauce.pntic.mec.es.
5. Algebra lineare e geometria (2010/2011). Sistemi di equazioni lineari. Capitolo 1. Dipartimento di Algebra. Università di Siviglia. La Spagna. Recupero da algebra.us.es.