Come calcolare i lati e gli angoli di un triangolo?

Ci sono diversi modi di calcola i lati e gli angoli di un triangolo. Questi dipendono dal tipo di triangolo con cui stai lavorando.

In questa occasione, mostreremo come calcolare i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo, assumendo che determinati dati del triangolo con noti.

Gli elementi che verranno utilizzati sono:

- Il teorema di Pitagora

Dato un triangolo rettangolo con le gambe "a", "b" e ipotenusa "c", è vero che "c² = a² + b²".

- Area di un triangolo

La formula per calcolare l'area di qualsiasi triangolo è A = (b × h) / 2, dove "b" è la lunghezza della base e "h" la lunghezza dell'altezza.

- Angoli di un triangolo

La somma dei tre angoli interni di un triangolo è 180º.

- Le funzioni trigonometriche:

Considera un triangolo rettangolo. Quindi, le funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente dell'angolo beta (β) sono definite come segue:

sin (β) = CO / anca, cos (β) = CA / anca e abbronzatura (β) = CO / CA.

Come calcolare i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo?

Dato un triangolo ABC corretto, possono verificarsi le seguenti situazioni:

1- Entrambe le gambe sono conosciute

Se il cateto "a" misura 3 cm e il cateto "b" misura 4 cm, allora per calcolare il valore di "c" viene usato il teorema di Pitagora. Quando si sostituiscono i valori di "a" e "b", si ottiene che c² = 25 cm², che implica che c = 5 cm.

Ora, se l'angolo β è opposto al cateto "b", allora sin (β) = 4/5. Quando si applica la funzione sinusoidale inversa, in quest'ultima equazione si ottiene che β = 53,13º. Sono già noti due angoli interni del triangolo.

Sia θ l'angolo che rimane da conoscere, quindi 90º + 53,13º + θ = 180º, da cui otteniamo che θ = 36,87º.

In questo caso non è necessario che i lati conosciuti siano le due gambe, l'importante è conoscere il valore di entrambi i lati.

2- È noto un cateto e l'area

Lasciare a = 3 cm la gamba conosciuta e A = 9 cm² l'area del triangolo.

In un triangolo rettangolo una gamba può essere considerata come una base e l'altra come altezza (dato che sono perpendicolari).

Supponiamo che "a" sia la base, quindi 9 = (3 × h) / 2, da cui si ottiene che l'altro cateto misura 6 cm. Per calcolare l'ipotenusa procediamo come nel caso precedente, e otteniamo che c = √45 cm.

Ora, se l'angolo β è opposto alla gamba "a", allora sin (β) = 3 / √45. Quando si cancella β si ottiene che il suo valore è 26,57º. Resta solo da conoscere il valore del terzo angolo θ.

È soddisfatto che 90º + 26,57º + θ = 180º, da cui si conclude che θ = 63,43º.

3- Sono noti un angolo e una gamba

Sia β = 45 ° l'angolo noto e a = 3 cm la gamba nota, dove la gamba "a" è opposta all'angolo β. Usando la formula della tangente, otteniamo che tg (45º) = 3 / CA, da cui risulta che CA = 3 cm.

Usando il teorema di Pitagora, otteniamo che c² = 18 cm², cioè c = 3√2 cm.

È noto che un angolo misura 90º e che β misura 45º, da cui si conclude che il terzo angolo misura 45º.

In questo caso, il lato conosciuto non deve essere una gamba, può essere uno qualsiasi dei tre lati del triangolo.

riferimenti

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2. Leake, D. (2006). triangoli (illustrato a cura di). Heinemann-Raintree.
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