Derivati ​​algebrici (con esempi)

il derivati ​​algebrici consistono nello studio della derivata nel caso particolare di funzioni algebriche. L'origine della nozione di derivato risale all'antica Grecia. Lo sviluppo di questa nozione è stato motivato dalla necessità di risolvere due problemi importanti, uno in fisica e l'altro in matematica.

In fisica, la derivata risolve il problema di determinare la velocità istantanea di un oggetto in movimento. In matematica, puoi trovare la linea tangente su una curva in un dato punto.

Sebbene in realtà ci siano molti più problemi che vengono risolti usando la derivata, così come le sue generalizzazioni, risultati che sono arrivati ​​più tardi all'introduzione del suo concetto.

I pionieri del calcolo differenziale sono Newton e Leibniz. Prima di dare una definizione formale, svilupperemo l'idea alla base, dal punto di vista matematico e fisico.

indice

• 1 La derivata come pendenza della linea tangente a una curva
• 2 La derivata come velocità istantanea di un oggetto in movimento
  • 2.1 Funzione algebrica
• 3 Regole di derivazione
  • 3.1 Derivato da una costante
  • 3.2 Derivata di un potere
  • 3.3 Derivato da addizione e sottrazione
  • 3.4 Derivato di un prodotto
  • 3.5 Derivato da un quoziente
  • 3.6 Regola della catena
• 4 riferimenti

La derivata come pendenza della linea tangente a una curva

Supponiamo che il grafico di una funzione y = f (x) sia un grafico continuo (senza picchi o vertici o separazioni) e che A = (a, f (a)) sia un punto fisso su di esso. Vogliamo trovare l'equazione della linea tangente nel grafico della funzione f al punto A.

Prendi un altro punto P = (x, f (x)) del grafico, vicino al punto A, e disegna la linea secante che passa per A e P. Una linea secante è una linea che taglia il grafico di una curva in una o più punti.

Per ottenere la linea tangente che vogliamo, abbiamo solo bisogno di calcolare la pendenza poiché abbiamo già un punto sulla linea: punto A.

Se spostiamo il punto P lungo il grafico e lo avviciniamo sempre più al punto A, la suddetta linea secante si avvicinerà alla linea tangente che vogliamo trovare. Prendendo il limite quando "P tende ad A", entrambe le linee coincideranno, quindi anche le sue pendenze.

La pendenza della linea secante è data da

Dire che P si avvicini ad A equivale a dire che "x" si avvicina a "a". Pertanto, la pendenza della linea tangente al grafico di f al punto A sarà uguale a:

L'espressione sopra è denotata da f '(a), ed è definita come la derivata di una funzione f al punto "a". Vediamo quindi che analiticamente, la derivata di una funzione in un punto è un limite, ma geometricamente, è la pendenza della linea tangente al grafico della funzione nel punto.

Ora vedremo questa nozione dal punto di vista della fisica. Arriveremo alla stessa espressione del limite precedente, anche se in modo diverso, ottenendo l'unanimità della definizione.

La derivata come velocità istantanea di un oggetto in movimento

Vediamo un breve esempio di cosa significa velocità istantanea. Quando si dice, ad esempio, che un'auto per raggiungere una destinazione lo ha fatto a una velocità di 100 km all'ora, il che significa che in un'ora ha percorso 100 km.

Questo non significa necessariamente che durante l'intera ora l'auto fosse sempre a 100 km di distanza, il tachimetro dell'auto potrebbe in alcuni momenti segnare meno o più. Se avesse avuto la necessità di fermarsi a un semaforo, la velocità in quel momento era 0 km. Tuttavia, dopo un'ora, il percorso era di 100 km.

Questo è ciò che è noto come velocità media ed è dato dal quoziente della distanza percorsa tra il tempo trascorso, come abbiamo appena visto. La velocità istantanea, d'altra parte, è quella che segna l'ago del tachimetro di un'auto in un determinato momento (tempo).

Diamo un'occhiata a questo ora più in generale. Supponiamo che un oggetto si muova lungo una linea e che questo spostamento sia rappresentato mediante l'equazione s = f (t), dove la variabile t misura il tempo e la variabile s lo spostamento, tenendo conto del suo inizio in l'istante t = 0, momento in cui è anche zero, cioè f (0) = 0.

Questa funzione f (t) è nota come funzione di posizione.

Si cerca un'espressione per la velocità istantanea dell'oggetto in un istante fisso "a". A questa velocità lo indicheremo con V (a).

Sia un istante vicino all'istante "a". Nell'intervallo di tempo tra "a" e "t", il cambiamento di posizione dell'oggetto è dato da f (t) -f (a).

La velocità media in questo intervallo di tempo è:

Che è un'approssimazione della velocità istantanea V (a). Questa approssimazione sarà migliore quando si avvicina a "a". pertanto,

Osserva che questa espressione è uguale a quella ottenuta nel caso precedente, ma da una prospettiva diversa. Questo è ciò che è noto come derivata di una funzione f in un punto "a" e denotata da f '(a), come detto sopra.

Si noti che apportando la modifica h = x-a, abbiamo che quando "x" tende a "a", "h" tende a 0 e il limite precedente viene trasformato (in modo equivalente) a:

Entrambe le espressioni sono equivalenti, ma a volte è preferibile utilizzare l'una anziché l'altra, a seconda del caso.

La derivata di una funzione f viene quindi definita più generalmente in qualsiasi punto "x" appartenente al suo dominio come

La notazione più usuale per rappresentare la derivata di una funzione y = f (x) è quella che abbiamo appena visto (f 'o e'). Tuttavia, un'altra notazione ampiamente utilizzata è la notazione Leibniz rappresentata come una delle seguenti espressioni:

Poiché la derivata è essenzialmente un limite, può o non può esistere, perché i limiti non sempre esistono. Se esiste, si dice che la funzione in questione è differenziabile al punto specificato.

Funzione algebrica

Una funzione algebrica è una combinazione di polinomi mediante somme, sottrazioni, prodotti, quozienti, poteri e radicali.

Un polinomio è un'espressione della forma

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+ ... + a₂x²+ a₁x + a₀

Dove n è un numero naturale e tutto l'a_io, con i = 0,1, ..., n, sono numeri razionali e a_n≠ 0 In questo caso si dice che il grado di questo polinomio è n.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di funzioni algebriche:

Qui non sono incluse le funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Le regole di derivazione che vedremo di seguito sono valide per le funzioni in generale, ma limiteremo noi stessi e li applicheremo nel caso di funzioni algebriche.

Regole di derivazione

Derivato da una costante

Stabilisce che la derivata di una costante è zero. Cioè, se f (x) = c, allora f '(x) = 0. Ad esempio, la derivata della funzione costante 2 è uguale a 0.

Derivato da un potere

Se f (x) = xⁿ, quindi f '(x) = nx^n-1. Ad esempio, la derivata di x³ È 3x². Come conseguenza di ciò, otteniamo che la derivata della funzione di identità f (x) = x è f '(x) = 1x^1-1= x⁰=1.

Un altro esempio è il seguente: be f (x) = 1 / x², quindi f (x) = x^-2 e f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Anche questa proprietà è valida come root, perché le radici sono potenze razionali e in questo caso puoi applicare quanto sopra. Ad esempio, la derivata di una radice quadrata è data da

Derivato da una somma e una sottrazione

Se f e g sono funzioni differenziabili in x, allora anche la somma f + g è diversa ed è vero che (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogamente abbiamo quello (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). In altre parole, la derivata di una somma (sottrazione), è la somma (o sottrazione) delle derivate.

esempio

Se h (x) = x²+ x-1, quindi

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Derivato da un prodotto

Se f e g sono funzioni differenziabili in x, allora il prodotto fg è anche differenziabile in x ed è soddisfatto

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

La conseguenza è che se c è una costante e f è una funzione differenziabile in x, allora cf è anche differenziabile in x e (cf) '(x) = cf' (X).

esempio

Se f (x) = 3x (x²+1), quindi

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²)'+(1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+ 3 + 6x²

= 9 volte²+3.

Derivato da un quoziente

Se f e g sono differenziabili in xeg (x) ≠ 0, allora f / g è anche differenziabile in x, ed è vero che

esempio: se h (x) = x³/ (x²-5x), quindi

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Regola della catena

Questa regola consente la derivazione della composizione delle funzioni. Stabilisce quanto segue: se y = f (u) è differenziabile in u, yu = g (x) è differenziabile in x, allora la funzione composta f (g (x)) è differenziabile in x, ed è soddisfatto che [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Cioè, il derivato di una funzione composita è il prodotto del derivato della funzione esterna (derivata esterna) dalla derivata della funzione interna (derivata interna).

esempio

Se f (x) = (x⁴-2x)³, quindi

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Ci sono anche risultati per calcolare la derivata dell'inverso di una funzione, così come la generalizzazione a derivati ​​di ordine superiore. Le applicazioni sono estese. Tra questi, evidenziano le loro utilità in problemi di ottimizzazione e funzioni massime e minime.

riferimenti

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