Proprietà, tipi ed esempi di homothety

il homotecia è un cambiamento geometrico nel piano in cui, da un punto fisso chiamato centro (O), le distanze vengono moltiplicate per un fattore comune. In questo modo, ogni punto P corrisponde ad un altro punto P 'prodotto della trasformazione, e questi sono allineati con il punto O.

Quindi, l'omotità è una corrispondenza tra due figure geometriche, in cui i punti trasformati sono chiamati omotetici, e questi sono allineati con un punto fisso e con segmenti paralleli tra loro.

indice

• 1 Homotecia
• 2 proprietà
• 3 tipi
  • 3.1 omotenza diretta
  • 3.2 Omotetà inversa
• 4 composizione
• 5 esempi
  • 5.1 Primo esempio
  • 5.2 Secondo esempio
• 6 riferimenti

homotecia

L'omotetia è una trasformazione che non ha un'immagine congruente, perché da una figura si otterranno una o più figure di dimensioni maggiori o minori rispetto alla figura originale; vale a dire che l'omotizzazione trasforma un poligono in un altro simile.

Perché l'omotità si compia, devono corrispondere da punto a punto e diritto a rettilineo, in modo che le coppie di punti omologhi siano allineate con un terzo punto fisso, che è il centro dell'omoteta.

Allo stesso modo, le coppie di linee che le uniscono devono essere parallele. La relazione tra tali segmenti è una costante chiamata rapporto tra l'omotetà (k); in modo tale che l'omotità possa essere definita come:

Per fare questo tipo di trasformazione iniziamo scegliendo un punto arbitrario, che sarà il centro dell'omoteria.

Da questo punto, i segmenti di linea vengono disegnati per ciascun vertice della figura che deve essere trasformata. La scala su cui è fatta la riproduzione della nuova figura è data dal rapporto dell'omoteta (k).

proprietà

Una delle proprietà principali dell'ostilità è che, per la ragione dell'omotesi (k), tutte le figure omotetiche sono simili. Tra le altre proprietà eccezionali sono le seguenti:

- Il centro dell'omoteta (O) è l'unico doppio punto e questo diventa se stesso; cioè, non varia.

- Le linee che passano attraverso il centro si trasformano (sono doppie), ma i punti che lo compongono non sono il doppio.

- Le linee rette che non passano attraverso il centro si trasformano in linee parallele; in questo modo, gli angoli dell'omotetà rimangono gli stessi.

- L'immagine di un segmento di un'omoteta del centro O e del rapporto k, è un segmento parallelo a questo e ha k volte la sua lunghezza. Ad esempio, come visto nell'immagine seguente, un segmento AB per omotetico produrrà un altro segmento A'B ', in modo che AB sia parallelo a A'B' e il k sarà:

- Gli angoli omotetici sono congruenti; cioè, hanno la stessa misura. Pertanto, l'immagine di un angolo è un angolo che ha la sua stessa ampiezza.

D'altra parte, l'omotetia varia a seconda del valore del suo rapporto (k), e possono verificarsi i seguenti casi:

- Se la costante k = 1, tutti i punti sono fissi perché si trasformano. Quindi, la figura omotetica coincide con l'originale e la trasformazione si chiamerà funzione di identità.

- Se k ≠ 1, l'unico punto fisso sarà il centro dell'omoteta (O).

- Se k = -1, l'omotetia diventa una simmetria centrale (C); cioè, ci sarà una rotazione attorno a C, con un angolo di 180^o.

- Se k> 1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore della dimensione dell'originale.

- Se 0 <k <1, la dimensione della figura trasformata sarà inferiore a quella dell'originale.

- Se -1 <k <0, la dimensione della figura trasformata sarà più piccola e ruotata rispetto all'originale.

- Se k <-1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore e ruotata rispetto all'originale.

tipo

L'omotità può anche essere classificata in due tipi, a seconda del valore del suo rapporto (k):

Omotenza diretta

Succede se la costante k> 0; cioè, i punti omotetici sono dalla stessa parte rispetto al centro:

Il fattore di proporzionalità o rapporto di somiglianza tra figure omotetiche dirette sarà sempre positivo.

Reverse homothetic

Succede se la costante k <0; vale a dire, i punti iniziali e i loro omotetici si trovano nelle estremità opposte rispetto al centro dell'omotetà, ma allineati ad esso. Il centro sarà tra le due figure:

Il fattore di proporzionalità o rapporto di somiglianza tra le cifre inverse omotetiche sarà sempre negativo.

composizione

Quando vari movimenti vengono eseguiti successivamente fino a ottenere una cifra uguale all'originale, si verifica una composizione di movimenti. La composizione di diversi movimenti è anche un movimento.

La composizione tra due omotossie si traduce in una nuova homothecia; cioè, abbiamo un prodotto omotetico in cui il centro sarà allineato con il centro delle due trasformazioni originali e il rapporto (k) è il prodotto delle due ragioni.

Quindi, nella composizione di due H homotheces₁(O₁, k₁) e H₂(O₂, k₂), moltiplicando le tue ragioni: k₁ x k₂ = 1 si tradurrà in un'omoteta del rapporto k₃ = k₁ x k₂. Il centro di questa nuova omotetà (O₃) si troverà sul rettilineo O.₁ O₂.

L'omotità corrisponde a un cambiamento piatto e irreversibile; se vengono applicati due omopoi che hanno lo stesso centro e rapporto ma con un segno diverso, si otterrà la cifra originale.

Esempi

Primo esempio

Applicare un'omoteta al dato poligono centrale (O), situato a 5 cm dal punto A e il cui rapporto è k = 0,7.

soluzione

Ogni punto è scelto come il centro dell'omoteria, e da questo raggio sono disegnati dai vertici della figura:

La distanza dal centro (O) al punto A è OA = 5; con questo puoi determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OA ') sapendo anche che k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Il processo può essere fatto per ogni vertice, oppure puoi anche disegnare il poligono omotetico ricordando che i due poligoni hanno lati paralleli:

Infine, la trasformazione si presenta così:

Secondo esempio

Applicare un'omoteta al dato poligono centrale (O), situato a 8,5 cm dal punto C e il cui rapporto y k = -2.

soluzione

La distanza dal centro (O) al punto C è OC = 8,5; con questi dati è possibile determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OC '), sapendo anche che k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Dopo aver tracciato i segmenti dei vertici del poligono trasformato, abbiamo che i punti iniziali e la loro omotetica si trovano nelle estremità opposte rispetto al centro:

riferimenti

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Disegno tecnico: quaderno delle attività.
2. Antonio Alvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinità, omologia e omotetà.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra lineare e geometria proiettiva. Corriere Corporativo.
4. Hebert, Y. (1980). Matematica generale, probabilità e statistica.
5. Meserve, B. E. (2014). Concetti fondamentali di geometria. Corriere Corporativo.
6. Nachbin, L. (1980). Introduzione all'algebra. Reverte.