Origine della logica matematica, quali studi, tipi

il logica matematica o la logica simbolica è un linguaggio matematico che include gli strumenti necessari per mezzo dei quali il ragionamento matematico può essere affermato o negato.

È noto che in matematica non ci sono ambiguità. Dato un argomento matematico, questo è valido o semplicemente non lo è. Non può essere falso e vero allo stesso tempo.

Un aspetto particolare della matematica è che ha un linguaggio formale e rigoroso con cui può essere determinata la validità di un ragionamento. Cos'è che rende certi ragionamenti o prove matematiche inconfutabili? Ecco di cosa tratta la logica matematica.

Così, la logica è la disciplina della matematica che si occupa di studiare il ragionamento e dimostrazioni matematiche, e fornendo gli strumenti per essere in grado di dedurre correttamente da alcuni precedenti affermazioni o proposizioni conclusione.

Per fare ciò, utilizza assiomi e altri aspetti matematici che verranno sviluppati in seguito.

indice

• 1 Origine e storia
  • 1.1 Aristotele
• 2 Che cosa studia la logica matematica?
  • 2.1 Proposizioni
  • 2.2 Tabelle di verità
• 3 tipi di logica matematica
  • 3.1 Aree
• 4 riferimenti

Origine e storia

Le date esatte rispetto a molti aspetti della logica matematica sono incerte. Tuttavia, la maggior parte delle bibliografie sull'argomento ne traccia l'origine nell'antica Grecia.

Aristotele

L'inizio del trattamento rigoroso della logica è attribuita in parte ad Aristotele, che ha scritto una serie di opere sulla logica, che sono stati successivamente compilati e sviluppati da diversi filosofi e scienziati fino al Medioevo. Questo potrebbe essere considerato come "la vecchia logica".

Allora, dove è conosciuto come l'Età Contemporanea, Leibniz, spinto da un profondo desiderio di stabilire un linguaggio universale di ragionare matematicamente, e di altri matematici come Gottlob Frege e Giuseppe Peano, in particolare influenzato lo sviluppo della logica matematica con grandi contributi tra questi, gli assiomi di Peano, che formulano le proprietà indispensabili dei numeri naturali.

Erano anche influente in questo momento matematici George Boole e Georg Cantor, con importanti contributi per impostare le tabelle di teoria e di verità, che ha evidenziato, tra le altre cose, l'algebra booleana (da George Boole) e l'assioma di scelta (di George Cantor)

Augustus De Morgan anche con le leggi conosciute Morgan, contemplando negazioni, congiunzioni, disgiunzioni e condizionali tra proposizioni, chiave per lo sviluppo della logica simbolica e le famose diagrammi di Venn John Venn.

Nel 20 ° secolo, approssimativamente tra il 1910 e il 1913, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead si distinguono per la pubblicazione di Principia matematica, un insieme di libri che raccoglie, sviluppa e postula una serie di assiomi e risultati logici.

Cosa studia la logica matematica?

proposizioni

La logica matematica inizia con lo studio delle proposizioni. Una proposizione è un'affermazione che senza alcuna ambiguità può essere detta se è vera o no. I seguenti sono esempi di proposizioni:

• 2+4=6.
• 5²=35.
• Nel 1930 ci fu un terremoto in Europa.

Il primo è una proposizione vera e il secondo è una proposizione falsa. Il terzo, anche se è possibile che la persona che legge non sa se sia vero o di destra, è una dichiarazione che può essere controllato per determinare se è effettivamente accaduto.

I seguenti sono esempi di espressioni che non sono proposizioni:

• Lei è bionda.
• 2x = 6
• Giochiamo!
• Ti piacciono i film?

Nella prima proposizione, non è specificato chi sia "lei", quindi nulla può essere affermato. Nella seconda proposizione, non è stato specificato cosa rappresenta "x". Se invece si dicesse che 2x = 6 per un numero naturale x, in questo caso corrisponderebbe ad una proposizione, in effetti vera, poiché per x = 3 è soddisfatta.

Le ultime due affermazioni non corrispondono a una proposizione, poiché non c'è modo di negarle o affermarle.

Due o più proposizioni possono essere combinate (o collegate) usando i connettori connettivi noti (o connettori). Questi sono:

• Negazione: "Non piove".
• Disgiunzione: "Luisa ha comprato una borsa bianca o grigia".
• Congiunzione: "4²= 16 e 2 × 5 = 10 ".
• Condizionale: "Se piove, allora non vado in palestra questo pomeriggio".
• Bicondizionale: "Vado in palestra questo pomeriggio se, e solo se, non piove".

Una proposizione che non ha nessuno dei precedenti connettivi, è chiamata proposizione semplice (o atomica). Ad esempio, "2 è inferiore a 4", è una proposizione semplice. Le proposizioni che hanno qualche connettivo sono chiamate proposizioni composte, come per esempio "1 + 3 = 4 e 4 è un numero pari".

Le affermazioni fatte per mezzo di proposizioni sono solitamente lunghe, quindi è noioso scriverle sempre come abbiamo visto finora.Pertanto, viene utilizzato un linguaggio simbolico. Le proposizioni sono solitamente rappresentate da lettere maiuscole come P, Q, R, Secc. E il connettivo simbolico come segue:

Così

il reciproco di una proposizione condizionale

è la proposizione

E il antitetico (o contrario) di una proposizione

è la proposizione

Tabelle di verità

Un altro concetto importante nella logica è quello delle tabelle di verità. I valori di verità di una proposizione sono le due possibilità che hai per una proposizione: vero (che sarà indicato con V e dirai che il suo valore di verità è V) o falso (che sarà indicato da F e il suo valore sarà detto è davvero F).

Il valore di verità di una proposizione composita dipende esclusivamente dai valori di verità delle proposizioni semplici che appaiono in essa.

Per lavorare più in generale, non prenderemo in considerazione proposizioni specifiche, ma variabili proposizionali p, q, r, s, ecc., che rappresenterà qualsiasi proposizione.

Con queste variabili e i connettivi logici, le formule proposizionali ben note si formano proprio come le proposizioni composte sono costruite.

Se ciascuna delle variabili che compaiono in una formula proposizionale viene sostituita da una proposizione, si ottiene una proposizione composita.

Di seguito sono riportate le tabelle di verità per i connettivi logici:

Esistono formule proposizionali che ricevono solo il valore V nella loro tabella di verità, cioè l'ultima colonna della loro tabella di verità ha solo il valore V. Questo tipo di formule è noto come tautologie. Ad esempio:

La seguente è la tabella di verità della formula

Si dice che una formula α implichi logicamente un'altra formula β, se α è vera ogni volta che β è vero. Cioè, nella tabella di verità di α e β, le righe in cui α ha una V, β hanno anche una V. Solo le righe in cui α hanno il valore V sono interessanti.La notazione per l'implicazione logica è la seguente :

La seguente tabella riassume le proprietà dell'implicazione logica:

Si dice che due formule proposizionali sono logicamente equivalenti se le loro tabelle di verità sono identiche. La seguente notazione è usata per esprimere l'equivalenza logica:

Le seguenti tabelle riassumono le proprietà dell'equivalenza logica:

Tipi di logica matematica

Esistono diversi tipi di logica, specialmente se si tiene conto della logica pragmatica o informale che punta alla filosofia, tra le altre aree.

Per quanto riguarda la matematica, i tipi di logica potrebbero essere riassunti come segue:

• Logica formale o logica aristotelica (logica antica).
• Logica proposizionale: è responsabile dello studio di tutto ciò che riguarda la validità degli argomenti e delle proposizioni usando un linguaggio formale e anche simbolico.
• Logica simbolica: focalizzata sullo studio degli insiemi e delle loro proprietà, anche con un linguaggio formale e simbolico, ed è profondamente legata alla logica proposizionale.
• Logica combinatoria: una delle più recenti, comporta risultati che possono essere sviluppati da algoritmi.
• Programmazione logica: utilizzata nei vari pacchetti e linguaggi di programmazione.

aree

Tra le aree che fanno uso della logica matematica in modo indispensabile nello sviluppo dei loro ragionamenti e argomenti, esse enfatizzano la filosofia, la teoria degli insiemi, la teoria dei numeri, la matematica algebrica costruttiva e i linguaggi di programmazione.

riferimenti

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2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduzione alla teoria dei numeri. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Corso base di teoria dei numeri. Università del Nord.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Come sviluppare ragionamento logico matematico Editoriale dell'Università.
5. Saragozza, A. C. (s.f.). Teoria dei numeri Libri di visione editoriale.