Metodo quadrato minimo, esercizi risolti e cosa serve



Il metodo di minimi quadrati è una delle applicazioni più importanti nell'approssimazione delle funzioni. L'idea è di trovare una curva tale che, dato un insieme di coppie ordinate, questa funzione si avvicini meglio ai dati. La funzione può essere una linea, una curva quadratica, una curva cubica, ecc.

L'idea del metodo è di minimizzare la somma dei quadrati delle differenze nelle ordinate (componente Y), tra i punti generati dalla funzione scelta e i punti appartenenti al set di dati.

indice

  • 1 metodo dei minimi quadrati
  • 2 esercizi risolti
    • 2.1 Esercizio 1
    • 2.2 Esercizio 2
  • 3 A cosa serve?
  • 4 riferimenti

Metodo dei minimi quadrati

Prima di dare il metodo, dobbiamo prima essere chiari su cosa significa "approccio migliore". Supponiamo di cercare una linea y = b + mx che rappresenti al meglio un insieme di n punti, ovvero {(x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn)}.

Come mostrato nella figura precedente, se le variabili xey erano correlate dalla linea y = b + mx, allora per x = x1 il valore corrispondente di y sarebbe b + mx1. Tuttavia, questo valore è diverso dal vero valore di y, che è y = y1.

Ricorda che nel piano, la distanza tra due punti è data dalla seguente formula:

Con questo in mente, per determinare il modo di scegliere la linea y = b + mx che meglio approssima i dati dati, suona logico utilizzare come criterio la selezione della linea che minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra i punti e la linea.

Poiché la distanza tra i punti (x1, y1) e (x1, b + mx1) è y1- (b + mx1), il nostro problema si riduce alla ricerca di numeri m eb tali che la somma seguente sia minima:

La linea che soddisfa questa condizione è conosciuta come "l'approssimazione della linea dei minimi quadrati ai punti (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Una volta risolto il problema, resta solo da scegliere un metodo per trovare l'approssimazione dei minimi quadrati. Se i punti (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) sono tutti sulla linea y = mx + b, dovremmo essere collineari e:

In questa espressione:

Infine, se i punti non sono collineari, allora y-Au = 0 e il problema può essere tradotto nel trovare un vettore o tale che la norma euclidea sia minima.

Trovare il vettore minimizzante non è così difficile come si potrebbe pensare. Poiché A è una matrice nx2 e u è una matrice 2 × 1, abbiamo che il vettore Au è un vettore in Rn e appartiene all'immagine di A, che è un sottospazio di Rn con una dimensione non superiore a due.

Assumeremo che n = 3 mostri quale sia la procedura da seguire. Se n = 3, l'immagine di A sarà un piano o una linea che passa attraverso l'origine.

Sia v il vettore minimizzante. Nella figura osserviamo che y-Au è minimizzato quando è ortogonale all'immagine di A. Cioè, se v è il vettore di minimizzazione, allora accade che:

Quindi, possiamo esprimere quanto sopra in questo modo:

Questo può accadere solo se:

Alla fine, svuotando v, dobbiamo:

È possibile farlo poiché AtA è invertibile fintanto che i n punti dati come dati non sono collineari.

Ora, se invece di cercare una linea vorremmo trovare una parabola (la cui espressione sarebbe della forma y = a + bx + cx2) che era una migliore approssimazione ai n punti di dati, la procedura sarebbe descritta di seguito.

Se i n punti di dati erano in detta parabola, dovrebbe:

allora:

In un modo simile possiamo scrivere y = Au. Se tutti i punti non sono nella parabola, abbiamo che y-Au è diverso da zero per qualsiasi vettore u e il nostro problema è di nuovo: trova un vettore in R3 in modo tale che la sua norma || y-Au || essere il più piccolo possibile

Ripetendo la procedura precedente, possiamo arrivare al vettore cercato:

Esercizi risolti

Esercizio 1

Trova la linea che meglio si adatta ai punti (1,4), (-2,5), (3, -1) e (4,1).

soluzione

Dobbiamo:

allora:

Pertanto, concludiamo che la linea che meglio si adatta ai punti è data da:

Esercizio 2

Supponiamo che un oggetto sia caduto da un'altezza di 200 m. Durante la caduta, vengono prese le seguenti misure:

Sappiamo che l'altezza di detto oggetto, dopo aver passato un tempo t, è data da:

Se vogliamo ottenere il valore di g, possiamo trovare una parabola che è una migliore approssimazione ai cinque punti indicati nella tabella, e quindi avremmo il coefficiente che accompagna t2 sarà una ragionevole approssimazione a (-1/2) g se le misurazioni sono accurate.

Dobbiamo:

E poi:

Quindi i punti dati sono regolati dalla seguente espressione quadratica:

Quindi, devi:

Questo è un valore ragionevolmente vicino a quello corretto, che è g = 9,81 m / s2. Per ottenere un'approssimazione più accurata di g sarebbe necessario partire da osservazioni più precise.

A cosa serve?

Nei problemi che si presentano nelle scienze naturali o sociali è conveniente scrivere le relazioni che avvengono tra diverse variabili per mezzo di alcune espressioni matematiche.

Ad esempio, possiamo collegare costi (C), reddito (I) e profitti (U) in economia per mezzo di una formula semplice:

In fisica, possiamo mettere in relazione l'accelerazione causata dalla gravità, il tempo in cui un oggetto è caduto e l'altezza dell'oggetto dalla legge:

Nell'espressione precedente so è l'altezza iniziale di quell'oggetto e vo È la tua velocità iniziale.

Tuttavia, trovare formule come queste non è un compito semplice; di solito spetta al professionista in servizio lavorare con molti dati e ripetere ripetutamente diversi esperimenti (al fine di verificare che i risultati ottenuti siano costanti) per trovare relazioni tra i diversi dati.

Un modo comune per raggiungere questo obiettivo è rappresentare i dati ottenuti in un piano come punti e cercare una funzione continua che si avvicini a questi punti in modo ottimale.

Uno dei modi per trovare la funzione che "meglio approssima" i dati dati è il metodo dei minimi quadrati.

Inoltre, come abbiamo visto anche nell'esercizio, grazie a questo metodo possiamo ottenere approssimazioni abbastanza vicine alle costanti fisiche.

riferimenti

  1. Charles W Curtis Linear Algebra. Springer Velarg
  2. Kai Lai Chung Teoria della teoria elementare con processi stocastici. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden e J.Douglas Faires. Analisi numerica (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Applicazioni dell'algebra lineare. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MESSICO
  5. Stanley I. Grossman. Algebra lineare MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MESSICO