Cos'è il Gravicentro? (con esempi)

il gravicentro è una definizione ampiamente utilizzata in geometria quando si lavora con triangoli.

Per comprendere la definizione di gravicentro è necessario prima conoscere la definizione di "mediane" di un triangolo.

Le mediane di un triangolo sono i segmenti di linea che iniziano da ciascun vertice e raggiungono il punto medio del lato opposto a quel vertice.

Il punto di intersezione delle tre mediane di un triangolo è chiamato baricentro o è anche noto come gravicentro.

Non è sufficiente conoscere solo la definizione, è interessante sapere come viene calcolato questo punto.

Calcolo del baricentro

Dato un triangolo ABC con i vertici A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3), abbiamo che il gravicentro è l'intersezione delle tre mediane del triangolo.

Una formula veloce che consente il calcolo del gravicentro di un triangolo, essendo note le coordinate dei suoi vertici è:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Con questa formula puoi conoscere la posizione del gravicentro nel piano cartesiano.

Caratteristiche del Gravicentro

Non è necessario tracciare le tre mediane del triangolo, perché quando si disegnano due di esse sarà evidente dove si trova il gravicentro.

Il gravicentro divide ciascuna mediana in 2 parti la cui proporzione è 2: 1, cioè i due segmenti di ciascuna mediana sono divisi in segmenti di lunghezze 2/3 e 1/3 della lunghezza totale, con la distanza maggiore che è quella che è tra il vertice e il gravicentro.

L'immagine seguente illustra meglio questa proprietà.

La formula per calcolare il gravicentro è molto semplice da applicare. Il modo per ottenere questa formula è calcolare le equazioni di linea che definiscono ciascuna mediana e quindi trovare il punto di taglio di dette linee.

formazione

Di seguito è riportato un piccolo elenco di problemi relativi al calcolo del baricentro.

1.- Dato un triangolo di vertici A = (0,0), B = (1,0) e C = (1,1), calcola il gravicentro di detto triangolo.

Usando la formula data, si può concludere rapidamente che il gravicentro del triangolo ABC è:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Se un triangolo ha i vertici A = (0,0), B = (1,0) e C = (1 / 2,1), quali sono le coordinate del gravicentro?

Poiché i vertici del triangolo sono noti, viene applicata la formula per calcolare il gravicentro. Pertanto, il gravicentro ha coordinate:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Calcola i possibili gravicentros per un triangolo equilatero tale che due dei suoi vertici siano A = (0,0) e B = (2,0).

In questo esercizio, vengono specificati solo due vertici del triangolo. Per trovare possibili gravicenters, dobbiamo prima calcolare il terzo vertice del triangolo.

Poiché il triangolo è equilatero e la distanza tra A e B è 2, il terzo vertice C deve essere alla distanza 2 da A e B.

Sfruttando il fatto che in un triangolo equilatero l'altezza coincide con la mediana e anche utilizzando il teorema di Pitagora, si può concludere che le opzioni per le coordinate del terzo vertice sono C1 = (1, √3) o C2 = (1 - √3).

Quindi le coordinate dei due possibili gravicentros sono:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).

Grazie ai conti precedenti si può anche notare che la mediana era divisa in due parti la cui proporzione è 2: 1.

riferimenti

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