Cos'è un vettore e quali sono le sue caratteristiche?

un vettore è una quantità o un fenomeno che ha due proprietà indipendenti: grandezza e direzione. Il termine denota anche la rappresentazione matematica o geometrica di tale quantità.

Esempi di vettori in natura sono velocità, forza, campi elettromagnetici e peso. Una quantità o un fenomeno che mostra solo la grandezza, senza una direzione specifica, è chiamato scalare.

Esempi di scalari includono velocità, massa, resistenza elettrica e capacità di memorizzazione del disco rigido.

I vettori possono essere rappresentati graficamente in due o tre dimensioni. La magnitudine è indicata come la lunghezza di un segmento. La direzione è indicata dall'orientamento del segmento e da una freccia a un'estremità.

L'illustrazione sopra mostra tre vettori in coordinate rettangolari bidimensionali (il piano cartesiano) e i loro equivalenti in coordinate polari.

I vettori in fisica

In fisica, quando hai un vettore, devi prendere in considerazione due quantità: la sua direzione e la sua grandezza. Le quantità che hanno una sola grandezza sono chiamate scalari. Se viene assegnata una direzione a una quantità scalare, viene creato un vettore.

Visivamente, i vettori sono visti come frecce, il che è perfetto perché una freccia ha una direzione chiara e una grandezza libera (la lunghezza della freccia).

Nella figura seguente la freccia rappresenta un vettore che inizia ai piedi della freccia (detta anche coda) e termina alla testa.

In fisica, un carattere in grassetto viene solitamente utilizzato per rappresentare un vettore, sebbene possa anche essere rappresentato come una lettera con una freccia su di esso.

La freccia indica che non è solo un valore scalare, che sarebbe rappresentato da A, ma anche qualcosa con direzione.

Differenze tra vettore e scalare

I valori che non sono vettori sono scalari. Ad esempio, una tale quantità di 500 mele è uno scalare, non ha direzione, è solo una grandezza. Anche il tempo è uno scalare, non ha direzione.

Tuttavia, la velocità è un vettore poiché non solo specifica una grandezza (la velocità) del percorso, ma indica anche la direzione (e la direzione) del percorso.

Ad esempio, la linea d'azione del vettore velocità potrebbe

essere 30 ° rispetto all'orizzontale. Pertanto, sappiamo in che direzione si muove l'oggetto.

Tuttavia, questo non specifica ancora la direzione del viaggio, che si stia allontanando o avvicinandosi a noi. Pertanto, specifichiamo anche la direzione in cui il vettore agisce attraverso una punta di freccia.

Forza, accelerazione e distanza percorsa sono anche vettori. Ad esempio, dire che un'auto si è mossa di 10 metri non indica in quale direzione si è mosso. Per specificare completamente il movimento, è anche necessario specificare la direzione e la direzione del movimento.

La forza è anche un vettore perché se tiri un oggetto verso di te ti si avvicina e se spingi l'oggetto si allontana da te. Quindi la forza ha una direzione e un senso, e quindi è un vettore.

esempio

Come esempi delle informazioni fornite da un vettore, abbiamo il seguente:

Cerca una borsa d'oro

Supponiamo che un insegnante ti dica: "Una borsa d'oro è fuori dalla classe, per trovarla, spostati di 20 metri". Questa affermazione ti interesserà sicuramente, tuttavia non ci sono abbastanza informazioni incluse nella dichiarazione per trovare la borsa d'oro.

Lo spostamento richiesto per trovare la borsa d'oro non è stato completamente descritto. D'altra parte, supponiamo che il tuo insegnante ti dica: "Una borsa d'oro si trova fuori dall'aula, per trovarla spostata dal centro della porta della classe di 20 metri in una direzione di 30 ° a ovest del nord".

Questa affermazione fornisce ora una descrizione completa del vettore di spostamento, che elenca la magnitudine (20 metri) e la direzione (30 ° ovest del nord) rispetto a una posizione di riferimento o iniziale (il centro della porta della classe). ).

Le quantità vettoriali non sono completamente descritte a meno che non siano indicati sia la magnitudine sia la direzione.

Spostamento di auto

Quando ci spostiamo in un'auto utilizziamo vettori diversi. Questi vettori appaiono ogni volta che cambiamo velocità.

Quando acceleriamo per superare un'altra auto, stiamo aggiungendo le variabili di direzione e velocità che costituiscono un nuovo vettore.

D'altra parte, quando vogliamo ridurre la velocità, stiamo sottraendo i vettori corrispondenti a detta decelerazione.

In un altro senso, quando invertiamo senza cambiare la velocità, stiamo modificando il significato del vettore che emerge dal movimento della macchina.

Apri una porta

Quando apriamo una porta utilizziamo diversi vettori. Per prima cosa, dobbiamo stampare una forza in una determinata direzione per girare la manopola della porta, quindi dobbiamo spingere la porta in una determinata direzione, stampando una forza.

Questi valori di forza e direzione corrispondono ai vettori utilizzati per aprire una porta. Il processo di chiusura di una porta genererà un nuovo vettore, in cui il suo valore sarà negativo rispetto a quello inizialmente dato per aprirlo.

Sposta una scatola

Quando vogliamo spingere una scatola che è molto pesante, dobbiamo esercitare una forza sulla sua superficie laterale. Questa forza deve essere esercitata in una direzione, in modo che la scatola possa muoversi.

In questo caso, il vettore sarà il risultato della combinazione di forza e direzione applicata per spostare la scatola.

Nel caso in cui la forza non venga utilizzata per spingere la scatola, ma per sollevarla verticalmente, apparirà un nuovo vettore.

Questo vettore sarà formato dall'asse verticale su cui è sollevata la scatola e dalla forza applicata per sollevarla.

Sposta una tessera di scacchi

Come nell'esempio precedente, una tessera di scacchi può essere spostata sulla superficie del tavolo - in una determinata direzione e, applicando una forza specifica - per cambiare la sua posizione sulla scacchiera, generando un vettore.

Può anche essere sollevato dalla tavola, generando un nuovo vettore in direzione verticale.

Premere un pulsante

Un botó verrà premuto in una sola direzione, data dallo stesso sistema che contiene il pulsante.

Per premere quel pulsante, è necessario applicare una forza con il dito. Dall'esercizio di questo movimento, ne risulterà un vettore.

Gioca a biliardo

L'azione di colpire una palla da biliardo con la stecca di legno produce immediatamente un vettore, poiché ha l'effetto di due magnitudini: forza e direzione.

Una forza verrà applicata alla palla da biliardo, per spostarla in una particolare direzione. La palla da biliardo sul tavolo avrà un senso precedentemente stabilito, che dipenderà dalla decisione del giocatore.

Tirando una macchinina

Quando un bambino prende la sua macchinina e la tira da una corda, o semplicemente la manipola con le sue mani, genererà numerosi vettori.

Ogni volta che il bambino cambia la velocità o la direzione in cui si muove l'auto, creerà un nuovo vettore.

Le variabili del vettore, in questo caso, sarebbero composte dall'energia che il bambino applica all'auto e dalla direzione in cui desidera spostarlo.

Rappresentazione di vettori

Le quantità vettoriali sono spesso rappresentate da diagrammi vettoriali in scala.

I diagrammi vettoriali rappresentano un vettore utilizzando una freccia disegnata per ridimensionare in una direzione specifica. Un diagramma vettoriale appropriato deve avere diverse caratteristiche:

• Una scala è chiaramente elencata.
• Viene disegnata una freccia vettoriale (con una punta di freccia) in una direzione specifica. La freccia vettoriale ha una testa e una coda.
• L'ampiezza e la direzione del vettore sono chiaramente etichettate.

Indirizzo di un vettore

I vettori possono essere diretti a est, ovest, sud e nord. Ma alcuni vettori sono diretti a nord-est (con un angolo di 45 °). Pertanto, vi è la chiara necessità di identificare la direzione di un vettore che non dipende da nord, sud, est o ovest.

Esistono varie convenzioni per descrivere la direzione di qualsiasi vettore, tuttavia, solo due di esse verranno spiegate di seguito.

1-La direzione di un vettore è spesso espressa come un angolo di rotazione del vettore attorno alla sua "coda" verso est, ovest, nord o sud.

Ad esempio, si può dire che un vettore ha un indirizzo di 40 ° a nord ovest (ciò significa che un vettore che punta a ovest è stato girato di 40 ° verso nord) o che ha una direzione di 65 ° gradi est del sud (il che significa che un vettore che punta a sud ha ruotato di 65 ° verso est).

2-La direzione di un vettore è spesso espressa come un angolo di rotazione in senso antiorario del vettore. Usando questa convenzione, un vettore con una direzione di 30 ° è un vettore che è stato ruotato di 30 ° in senso antiorario rispetto all'oriente.

Un vettore con una direzione di 160 ° è un vettore che è stato ruotato di 160 ° in senso antiorario rispetto all'oriente. Un vettore con una direzione di 270 ° è un vettore che è stato ruotato di 270 ° in senso antiorario rispetto all'oriente.

Grandezza di un vettore

La grandezza di un vettore in un diagramma vettoriale in scala è rappresentata dalla lunghezza della freccia. La freccia viene disegnata con una lunghezza precisa in base a una scala scelta.

Ad esempio, se vuoi disegnare un vettore con una magnitudine di 20 metri, puoi scegliere come scala 1 cm = 5 metri e tracciare una freccia con una lunghezza di 4 cm.

Utilizzando la stessa scala (1 cm = 5 metri), un vettore di spostamento di 15 metri sarà rappresentato da una freccia vettoriale lunga 3 cm.

Allo stesso modo, un vettore di spostamento di 25 metri è rappresentato da una freccia di 5 cm di lunghezza. E infine, un vettore di spostamento di 18 metri è rappresentato da una freccia di 3,6 cm di lunghezza.

Altre caratteristiche dei vettori

uguaglianza: si dice che due vettori sono uguali se hanno la stessa magnitudine e direzione. Equivalentemente saranno uguali se le loro coordinate sono uguali.

opposizione: due vettori sono opposti se hanno la stessa magnitudine ma direzione opposta.

Paralelos: due vettori sono paralleli se hanno la stessa direzione ma non necessariamente la stessa magnitudine, o antiparalleli se hanno la direzione opposta ma non necessariamente la stessa magnitudine.

Unità vettoriale: un vettore unitario è un vettore con una lunghezza di uno.

Vettore zero: il vettore zero è il vettore con lunghezza zero. A differenza di qualsiasi altro vettore, ha una direzione arbitraria o indeterminata e non può essere normalizzato

riferimenti

1. Jong IC, Rogers BG. Meccanica di ingegneria: statica (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Encyclopedic Dictionary of Mathematics (1993). MIT Premere.
3. Ivanov AB. Enciclopedia della matematica (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Introduzione all'algebra lineare (1986). Springer.
6. Niku S. Principi di ingegneria nella vita di tutti i giorni per i non ingegneri (2016). Morgan e Claypool.
7. Pedoe D. Geometry: un corso completo (1988). Dover.