Qual è il dominio e il condominio di una funzione? (Con esempi risolti)

I concetti di dominio e contatore dominio di una funzione vengono comunemente insegnate nei corsi di calcolo insegnati all'inizio delle carriere universitarie.

Prima di definire il dominio e il dominio contatore è necessario sapere qual è una funzione. Una funzione f è una legge (regola) di corrispondenza fatta tra gli elementi di due serie.

L'insieme di cui gli elementi sono scelti è chiamato dominio della funzione, e l'insieme a cui questi elementi sono inviati attraverso f è chiamato dominio contatore.

In matematica, una funzione con dominio A e contatore dominio B è denotata dall'espressione f: A → B.

L'espressione sopra dice che gli elementi dell'insieme A vengono inviati all'insieme B seguendo la legge di corrispondenza f.

Una funzione assegna ad ogni elemento dell'insieme A un singolo elemento dell'insieme B.

Dominio e contro-dominio

Data una funzione reale di una variabile reale f (x), abbiamo che il dominio della funzione saranno tutti quei numeri reali tali che, se valutato in f, il risultato è un numero reale.

Generalmente il controdominio di una funzione è l'insieme dei numeri reali R. Il contrordine è anche chiamato set di arrivo o codominio della funzione f.

Il contrordine di una funzione è sempre R?

No. Fintanto che la funzione non viene studiata in dettaglio, l'insieme dei numeri reali R viene solitamente considerato come un contrordine.

Ma una volta che la funzione è stata studiata, un set più adatto può essere preso come dominio contatore, che sarà un sottoinsieme di R.

L'insieme appropriato menzionato nel paragrafo precedente corrisponde all'immagine della funzione.

La definizione dell'immagine o intervallo di una funzione f si riferisce a tutti i valori che derivano dalla valutazione di un elemento del dominio in f.

Esempi

I seguenti esempi illustrano come calcolare il dominio di una funzione e la sua immagine.

Esempio 1

Sia f una vera funzione definita da f (x) = 2.

Il dominio di f sono tutti numeri reali tali che, se valutato in f, il risultato è un numero reale. Il dominio contatore per il momento è uguale a R.

Poiché la funzione data è costante (sempre uguale a 2), non importa quale sia il numero reale scelto, dal momento che valutandolo in f il risultato sarà sempre uguale a 2, che è un numero reale.

Pertanto, il dominio della funzione data sono tutti numeri reali; cioè A = R.

Ora che è noto che il risultato della funzione è sempre uguale a 2, abbiamo che l'immagine della funzione è solo il numero 2, quindi il controdominio della funzione può essere ridefinito come B = Img (f) = {2}.

Pertanto, f: R → {2}.

Esempio 2

Sia g una vera funzione definita da g (x) = √x.

Mentre l'immagine di g non è nota, il dominio del contatore di g è B = R.

Con questa funzione è necessario considerare che le radici quadrate sono definite solo per numeri non negativi; cioè, per numeri maggiori o uguali a zero. Ad esempio, √-1 non è un numero reale.

Pertanto, il dominio della funzione g deve essere tutti i numeri maggiore o uguale a zero; cioè, x ≥ 0.

Pertanto, A = [0, + ∞).

Per calcolare l'intervallo, è necessario notare che qualsiasi risultato di g (x), essendo una radice quadrata, sarà sempre maggiore o uguale a zero. Cioè B = [0, + ∞).

In conclusione, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Esempio 3

Se abbiamo la funzione h (x) = 1 / (x-1), abbiamo che questa funzione non è definita per x = 1, poiché nel denominatore otterremmo zero e la divisione per zero non è definita.

D'altra parte, per qualsiasi altro valore reale il risultato sarà un numero reale. Pertanto, il dominio è tutto reale tranne uno; cioè, A = R \ {1}.

Allo stesso modo si può osservare che l'unico valore che non può essere ottenuto come risultato è 0, poiché per una frazione uguale a zero il numeratore deve essere zero.

Pertanto, l'immagine della funzione è l'insieme di tutto il settore diverso da zero, allora viene preso come contro-dominio B = R \ {0}.

In conclusione, h: R \ {1} → R \ {0}.

osservazioni

Il dominio e l'immagine non devono essere la stessa serie, come dimostrato negli esempi 1 e 3.

Quando una funzione nel piano cartesiano viene tracciato, il dominio è rappresentata dall'asse X e il contro-dominio o gamma è rappresentata dall'asse Y

riferimenti

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