Quali sono le equazioni simultanee? (con esercizi risolti)

il equazioni simultanee sono quelle equazioni che devono essere soddisfatte allo stesso tempo. Pertanto, per avere equazioni simultanee è necessario avere più di un'equazione.

Quando si hanno due o più equazioni diverse, che devono avere la stessa soluzione (o le stesse soluzioni), si dice di avere un sistema di equazioni o si dice anche che si hanno equazioni simultanee.

Quando si hanno equazioni simultanee può accadere che non hanno soluzioni comuni o hanno una quantità finita o una quantità infinita.

Equazioni simultanee

Date due equazioni diverse Eq1 ed Eq2, abbiamo che il sistema di queste due equazioni è chiamato equazioni simultanee.

Le equazioni simultanee soddisfano che se S è una soluzione di Eq1 allora anche S è una soluzione di Eq2 e viceversa

lineamenti

Quando si tratta di un sistema di equazioni simultanee è possibile avere 2 equazioni, 3 equazioni o N equazioni.

I metodi più comuni utilizzati per risolvere equazioni simultanee sono: sostituzione, equalizzazione e riduzione. Esiste anche un altro metodo chiamato regola di Cramer, che è molto utile per i sistemi con più di due equazioni simultanee.

Un esempio di equazioni simultanee è il sistema

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Si può notare che x = 0, y = 2 è una soluzione di Eq1 ma non è una soluzione di Eq2.

L'unica soluzione comune che entrambe le equazioni hanno è x = 1, y = 1. Cioè, x = 1, y = 1 è la soluzione del sistema di equazioni simultanee.

Esercizi risolti

Quindi procedi a risolvere il sistema di equazioni simultanee mostrato sopra, attraverso i 3 metodi menzionati.

Primo esercizio

Risolvi il sistema di equazioni Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di sostituzione.

soluzione

Il metodo di sostituzione consiste nel cancellare una delle incognite di una delle equazioni e quindi sostituirla nell'altra equazione. In questo caso particolare, puoi cancellare "y" da Eq1 e ottieni y = 2-x.

Sostituendo questo valore di "y" in Eq2 si ottiene 2x- (2-x) = 1. Pertanto, otteniamo che 3x-2 = 1, cioè x = 1.

Quindi, poiché il valore di x è noto, viene sostituito in "y" e si ottiene y = 2-1 = 1.

Pertanto, l'unica soluzione del sistema di equazioni simultanee Eq1 ed Eq2 è x = 1, y = 1.

Secondo esercizio

Risolvi il sistema di equazioni Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di equalizzazione.

soluzione

Il metodo di equalizzazione consiste nel cancellare la stessa domanda da entrambe le equazioni e quindi far corrispondere le equazioni risultanti.

Cancellando "x" da entrambe le equazioni, otteniamo che x = 2-y, e che x = (1 + y) / 2. Ora, queste due equazioni sono uguagliate e otteniamo quel 2-y = (1 + y) / 2, da cui risulta che 4-2y = 1 + y.

Raggruppando lo sconosciuto "y" sullo stesso lato si ottiene y = 1. Ora che sappiamo "e" procediamo a trovare il valore di "x". Sostituendo y = 1, otteniamo che x = 2-1 = 1.

Pertanto, la soluzione comune tra equazioni Eq1 ed Eq2 è x = 1, y = 1.

Terzo esercizio

Risolvi il sistema di equazioni Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di riduzione.

soluzione

Il metodo di riduzione consiste nel moltiplicare le equazioni fornite dai coefficienti appropriati, in modo che quando si aggiungono queste equazioni una delle variabili viene cancellata.

In questo particolare esempio, non è necessario moltiplicare alcuna equazione per alcun coefficiente, basta aggiungerli insieme. Aggiungendo Eq1 plus Eq2 otteniamo quel 3x = 3, da cui otteniamo x = 1.

Quando si valuta x = 1 in Eq1, si ottiene che 1 + y = 2, da cui risulta che y = 1.

Pertanto, x = 1, y = 1 è l'unica soluzione delle equazioni simultanee Eq1 ed Eq2.

Quarto esercizio

Risolvi il sistema di equazioni simultanee Eq1: 2x-3y = 8 e Eq2: 4x-3y = 12.

soluzione

In questo esercizio non è richiesto alcun metodo particolare, pertanto è possibile applicare il metodo più comodo per ciascun lettore.

In questo caso, verrà utilizzato il metodo di riduzione. Moltiplicando Eq1 per -2 si ottiene l'equazione Eq3: -4x + 6y = -16. Ora, l'aggiunta di Eq3 e Eq2 dà 3y = -4, quindi y = -4 / 3.

Ora, valutando y = -4 / 3 in Eq1 otteniamo che 2x-3 (-4/3) = 8, per cui 2x + 4 = 8, quindi, x = 2.

In conclusione, l'unica soluzione del sistema di equazioni simultanee Eq1 ed Eq2 è x = 2, y = -4 / 3.

osservazione

I metodi descritti in questo articolo possono essere applicati a sistemi con più di due equazioni simultanee.

Più equazioni e più incognite ci sono, la procedura per risolvere il sistema è più complicata.

Qualsiasi metodo per risolvere sistemi di equazioni produrrà le stesse soluzioni, cioè le soluzioni non dipenderanno dal metodo applicato.

riferimenti

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