Cosa sono i confini trigonometrici? (con gli esercizi risolti)

il limiti trigonometrici sono limiti di funzioni tali che dette funzioni sono formate da funzioni trigonometriche.

Ci sono due definizioni che devono essere conosciute per capire come viene eseguito il calcolo di un limite trigonometrico.

Queste definizioni sono:

- Limite di una funzione "f" quando "x" tende a "b": consiste nel calcolare il valore a cui f (x) si avvicina quando "x" si avvicina a "b", senza raggiungere "b" ".

- Funzioni trigonometriche: le funzioni trigonometriche sono le funzioni seno, coseno e tangente, indicate rispettivamente da sin (x), cos (x) e tan (x).

Le altre funzioni trigonometriche sono ottenute dalle tre funzioni sopra menzionate.

Limiti di funzioni

Per chiarire il concetto di limite di una funzione si procederà a mostrare alcuni esempi con funzioni semplici.

- Il limite di f (x) = 3 quando "x" tende a "8" è uguale a "3", poiché la funzione è sempre costante. Non importa quanto "x" valga, il valore di f (x) sarà sempre "3".

- Il limite di f (x) = x-2 quando "x" tende a "6" è "4". Da quando "x" si avvicina a "6" allora "x-2" si avvicina a "6-2 = 4".

- Il limite di g (x) = x² quando "x" tende a "3" è uguale a 9, poiché quando "x" si avvicina a "3", "x²" si avvicina a "3² = 9" .

Come si può vedere negli esempi precedenti, il calcolo di un limite consiste nel valutare il valore a cui tende "x" la funzione, e il risultato sarà il valore del limite, sebbene questo sia vero solo per le funzioni continue.

Ci sono limiti più complicati?

La risposta è sì Gli esempi sopra sono i più semplici esempi di limiti. Nei libri di calcolo, i principali esercizi di limiti sono quelli che generano un'indeterminazione del tipo 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 e (∞) ^ 0.

Queste espressioni sono chiamate indeterminazioni poiché sono espressioni che matematicamente non hanno significato.

In aggiunta a ciò, a seconda delle funzioni coinvolte nel limite originale, il risultato ottenuto nella risoluzione delle indeterminazioni può essere diverso in ciascun caso.

Esempi di semplici limiti trigonometrici

Per risolvere i limiti, è sempre molto utile conoscere i grafici delle funzioni coinvolte. Di seguito sono mostrati i grafici delle funzioni seno, coseno e tangente.

Alcuni esempi di semplici limiti trigonometrici sono:

- Calcola il limite di peccato (x) quando "x" tende a "0".

Quando visualizzi il grafico puoi vedere che se "x" si avvicina a "0" (sia a sinistra che a destra), allora anche il grafico seno si avvicina a "0". Pertanto, il limite di sin (x) quando "x" tende a "0" è "0".

- Calcola il limite di cos (x) quando "x" tende a "0".

Osservando il grafico del coseno si vede che quando "x" è vicino a "0", allora il grafico del coseno è vicino a "1". Ciò implica che il limite di cos (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "1".

Un limite può esistere (essere un numero), come negli esempi precedenti, ma può anche accadere che non esista come mostrato nell'esempio seguente.

- Il limite di tan (x) quando "x" tende a "Π / 2" a sinistra è uguale a "+ ∞", come si può vedere nel grafico. D'altra parte, il limite di tan (x) quando "x" tende a "-Π / 2" a destra è uguale a "-∞".

Identità dei confini trigonometrici

Due identità molto utili per il calcolo dei limiti trigonometrici sono:

- Il limite di "sin (x) / x" quando "x" tende a "0" è uguale a "1".

- Il limite di "(1-cos (x)) / x" quando "x" tende a "0" è uguale a "0".

Queste identità sono usate molto spesso quando si ha una sorta di indeterminatezza.

Esercizi risolti

Risolvi i seguenti limiti usando le identità sopra descritte.

- Calcola il limite di "f (x) = sin (3x) / x" quando "x" tende a "0".

Se la funzione "f" viene valutata in "0", verrà ottenuta un'indeterminazione di tipo 0/0. Pertanto, dobbiamo cercare di risolvere questa indeterminatezza utilizzando le identità descritte.

L'unica differenza tra questo limite e identità è il numero 3 che appare all'interno della funzione seno. Per applicare l'identità, la funzione "f (x)" deve essere riscritta nel modo seguente "3 * (sin (3x) / 3x)".Ora, sia l'argomento del seno e il denominatore sono uguali.

Quindi, quando "x" tende a "0", utilizzando l'identità risulta "3 * 1 = 3". Pertanto, il limite di f (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "3".

- Calcola il limite di "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" quando "x" tende a "0".

Quando "x = 0" è sostituito in g (x), si ottiene un'indeterminazione del tipo ∞-∞. Per risolverlo, le frazioni vengono sottratte, il che produce il risultato "(1-cos (x)) / x".

Ora, quando si applica la seconda identità trigonometrica, il limite di g (x) quando "x" tende a "0" è uguale a 0.

- Calcola il limite di "h (x) = 4tan (5x) / 5x" quando "x" tende a "0".

Di nuovo, se h (x) viene valutato in "0", si otterrà un'indeterminazione di tipo 0/0.

Riscriviando tan (5x) come sin (5x) / cos (5x) risulta in h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Utilizzando il limite di 4 / cos (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "4/1 = 4" e si ottiene la prima identità trigonometrica che il limite di h (x) quando "x" tende uno "0" è uguale a "1 * 4 = 4".

osservazione

I limiti trigonometrici non sono sempre facili da risolvere. In questo articolo sono stati mostrati solo esempi di base.

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