Quali sono i cugini relativi? Caratteristiche ed esempi

Si chiama cugini relativi (coprimos o cugini relativi l'uno all'altro) a qualsiasi coppia di numeri interi che non hanno divisori in comune, tranne 1.

In altre parole, due numeri interi sono numeri primi relativi se nelle loro scomposizioni in numeri primi, non hanno alcun fattore in comune.

Ad esempio, se vengono scelti 4 e 25, le scomposizioni del fattore primo di ciascuna sono rispettivamente 2 ² e 5 ². Come è apprezzato, questi non hanno alcun fattore comune, quindi 4 e 25 sono numeri primi relativi.

D'altra parte, se si scelgono il 6 e il 24, quando si eseguono le loro scomposizioni in fattori primi, si ottiene che 6 = 2 * 3 e 24 = 2³ * 3.

Come puoi vedere, queste ultime due espressioni hanno almeno un fattore in comune, quindi non sono numeri primi relativi.

Cugini relativi

Una cosa da tenere a mente è che dire che una coppia di numeri interi sono numeri primi relativi è che ciò non implica che nessuno di essi sia un numero primo.

D'altra parte, la definizione di cui sopra può essere riassunta come segue: due interi "a" e "b" sono numeri primi relativi se, e solo se, il massimo comune divisore di questi è 1, cioè, mcd ( a, b) = 1.

Due conclusioni immediate di questa definizione sono che:

-Se "a" (o "b") è un numero primo, quindi mcd (a, b) = 1.

-Se "a" e "b" sono numeri primi, quindi mcd (a, b) = 1.

Cioè, se almeno uno dei numeri scelti è un numero primo, allora direttamente la coppia di numeri sono numeri primi relativi.

Altre caratteristiche

Altri risultati che vengono utilizzati per determinare se due numeri sono numeri primi relativi sono:

-Se due numeri interi sono consecutivi, questi sono numeri primi relativi.

-Due numeri naturali "a" e "b" sono numeri primi relativi se, e solo se, i numeri "(2 ^ a) -1" e "(2 ^ b) -1" sono numeri primi relativi.

-Due interi "a" e "b" sono numeri primi relativi se, e solo se, tracciando il punto (a, b) nel piano cartesiano e costruendo la linea che passa attraverso l'origine (0,0) e ( a, b), questo non contiene punti con coordinate intere.

Esempi

1.- Considera i numeri interi 5 e 12. Le scomposizioni del primo fattore di entrambi i numeri sono: 5 e 2 ² * 3 rispettivamente. In conclusione, gcd (5,12) = 1, quindi, 5 e 12 sono numeri primi relativi.

2.- Lasciate i numeri -4 e 6. Quindi -4 = -2² e 6 = 2 * 3, in modo che l'LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. In conclusione -4 e 6 non sono cugini relativi.

Se procediamo a tracciare il grafico della linea che passa attraverso le coppie ordinate (-4,6) e (0,0), e per determinare l'equazione di questa linea, possiamo verificare che passi attraverso il punto (-2,3).

Ancora una volta si conclude che -4 e 6 non sono numeri primi relativi.

3.- I numeri 7 e 44 sono numeri primi relativi e possono essere rapidamente conclusi grazie a quanto sopra, poiché 7 è un numero primo.

4.- Considerare i numeri 345 e 346. Essendo due numeri consecutivi, si verifica che mcd (345,346) = 1, quindi 345 e 346 sono numeri primi relativi.

5.- Se si considerano i numeri 147 e 74, questi sono numeri primi relativi, poiché 147 = 3 * 7² e 74 = 2 * 37, quindi il gcd (147.74) = 1.

6.- I numeri 4 e 9 sono numeri primi relativi. Per dimostrarlo, è possibile utilizzare la seconda caratterizzazione sopra menzionata. In effetti, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 e 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

I numeri ottenuti sono 15 e 511. Le scomposizioni primo fattore di questi numeri sono rispettivamente 3 * 5 e 7 * 73, in modo che mcd (15,511) = 1.

Come puoi vedere, l'uso della seconda caratterizzazione è un compito più lungo e laborioso rispetto alla verifica diretta.

7.- Considera i numeri -22 e -27. Quindi questi numeri possono essere riscritti come segue: -22 = -2 * 11 e -27 = -3³. Pertanto, il gcd (-22, -27) = 1, quindi -22 e -27 sono numeri primi relativi.

riferimenti

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