Cosa sono i triangoli obliqui? (con esercizi risolti)

il triangoli obliqui sono quei triangoli che non sono rettangoli. Cioè, triangoli tali che nessuno dei suoi angoli è un angolo retto (la sua misura è di 90º).

Non avendo angolo retto, il Teorema di Pitagora non può essere applicato a questi triangoli.

Pertanto, per conoscere i dati in un triangolo obliquo, è necessario utilizzare altre formule.

Le formule necessarie per risolvere un triangolo obliquo sono le cosiddette leggi di seni e coseni, che saranno descritte in seguito.

Oltre a queste leggi, è sempre possibile utilizzare la somma degli angoli interni di un triangolo pari a 180 °.

Triangoli obliqui

Come è stato detto all'inizio, un triangolo obliquo è un triangolo tale che nessuno dei suoi angoli misura 90º.

Il problema di trovare le lunghezze dei lati di un triangolo scaleno e di trovare angoli di misure, si chiama "Risoluzione triangoli oblique".

Un dato importante quando si lavora con triangoli è che la somma dei tre angoli interni di un triangolo è uguale a 180 °. Questo è un risultato generale, quindi per i triangoli obliqui può anche essere applicato.

Leggi di seni e coseni

Dato un triangolo ABC con lati di lunghezza "a", "b" e "c":

- La legge dei seni stabilisce che un / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), dove A, B e C sono l'opposto di "a", "b" e "c angoli "rispettivamente.

- La legge del coseno afferma che: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Equivalentemente, è possibile utilizzare le seguenti formule:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) o a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Usando queste formule puoi calcolare i dati di un triangolo obliquo.

formazione

Di seguito sono riportati alcuni esercizi in cui è necessario trovare i dati mancanti dei triangoli dati, da determinati dati forniti.

Primo esercizio

Dato un triangolo ABC tale che A = 45º, B = 60º e a = 12cm, calcola gli altri dati del triangolo.

soluzione

Usando la somma degli angoli interni di un triangolo equivale a 180º, devi farlo

C = 180º-45º-60º = 75º.

I tre angoli sono già noti. Quindi procedere a utilizzare la legge del seno per calcolare i due lati che mancano.

Le equazioni che sono poste sono 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Dalla prima uguaglianza puoi cancellare "b" e ottenerlo

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Puoi anche cancellare "c" e ottenerlo

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Secondo esercizio

Dato il triangolo ABC tale che A = 60º, C = 75º eb = 10cm, calcola gli altri dati del triangolo.

soluzione

Come nell'esercizio precedente, B = 180º-60º-75º = 45º. Inoltre, utilizzando la legge di uno seni ha che un / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75 °), da cui risulta che a = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5√6 ≈ 12.247 cm c = 10 * sin (75 °) / sin (45) = 5 (1 + √3) ≈ 13,66 mila centimetri.

Terzo esercizio

Dato il triangolo ABC tale che a = 10 cm, b = 15 cm e C = 80 °, calcolare gli altri dati del triangolo.

soluzione

In questo esercizio, è noto solo un angolo, quindi non puoi iniziare come hai fatto nei due esercizi precedenti. Inoltre, la legge del seno non può essere applicata perché nessuna equazione potrebbe essere risolta.

Pertanto, procediamo ad applicare la legge dei coseni. È allora quello

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

in modo che c ≈ 16,51 cm. Ora, conoscendo i 3 lati, si usa la legge del seno e si ottiene

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Quindi, alla compensazione B risulta senza (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, il che implica che B ≈ 63.38º.

Ora, si può ottenere che A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Quarto esercizio

I lati di un triangolo obliquo sono un = 5 cm, b = 3 cm ec = 7 cm. Calcola gli angoli del triangolo.

soluzione

Di nuovo, la legge del seno non può essere applicata direttamente poiché nessuna equazione servirebbe ad ottenere il valore degli angoli.

Uso del coseno deve essere C² = a² + b² - 2AB cos (C), dove compensazione deve cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 e quindi C = 120º.

Ora, se è possibile applicare la legge dei seni e ottenere 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), dove è possibile cancellare B e ottenere che senza (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, in modo che B = 21,79º.

Infine, l'ultimo angolo viene calcolato usando A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

riferimenti

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