Quali tipi di integrali ci sono?

il tipi di integrali che troviamo nel calcolo sono: Integrali indefiniti e Integrali definiti. Sebbene gli integrali definiti abbiano molte più applicazioni degli integrali indefiniti, è necessario prima imparare a risolvere integrali indefiniti.

Una delle applicazioni più interessanti di integrali definiti è il calcolo del volume di un solido di rivoluzione.

Entrambi i tipi di integrali hanno le stesse proprietà di linearità e anche le tecniche di integrazione non dipendono dal tipo di integrale.

Ma nonostante sia molto simile, c'è una differenza principale; nel primo tipo di integrale il risultato è una funzione (che non è specifica) mentre nel secondo tipo il risultato è un numero.

Due tipi fondamentali di integrali

Il mondo degli integrali è molto ampio ma al suo interno possiamo distinguere due tipi fondamentali di integrali, che hanno una grande applicabilità nella vita di tutti i giorni.

1- Integrali indefiniti

Se F '(x) = f (x) per tutti x nel dominio di f, diciamo che F (x) è una antiderivata, una primitiva o un integrale di f (x).

D'altra parte, osserviamo che (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), che implica che l'integrale di una funzione non è univoco, poiché dando valori diversi alla costante C otterremo diversi si primitive.

Per questo motivo F (x) + C è chiamato Integrale indefinito di f (x) e C è chiamato costante di integrazione e lo scriviamo nel modo seguente

Come possiamo vedere, l'integrale indefinito della funzione f (x) è una famiglia di funzioni.

Ad esempio, se si desidera calcolare l'integrale indefinito della funzione f (x) = 3x², è necessario prima trovare una antiderivata di f (x).

È facile notare che F (x) = x³ è una antiderivata, poiché F '(x) = 3x². Pertanto, si può concludere che

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Integrali definiti

Sia y = f (x) una funzione reale, continua in un intervallo chiuso [a, b] e sia F (x) una primitiva di f (x). Si chiama definitivo integrale di f (x) tra i limiti aeb per il numero F (b) -F (a), ed è indicato come segue

La formula mostrata sopra è meglio conosciuta come "The Fundamental Theorem of Calculus". Qui "a" è chiamato il limite inferiore e "b" è chiamato il limite superiore. Come puoi vedere, l'integrale definito di una funzione è un numero.

In questo caso, se l'integrale definito di f (x) = 3x² viene calcolato nell'intervallo [0,3], verrà ottenuto un numero.

Per determinare questo numero scegliamo F (x) = x³ come antiderivata di f (x) = 3x². Quindi, calcoliamo F (3) -F (0) che ci dà il risultato 27-0 = 27. In conclusione, l'integrale definito di f (x) nell'intervallo [0.3] è 27.

Si può evidenziare che se G (x) = x³ + 3 è scelto, allora G (x) è un antiderivata di f (x) diverso da F (x), ma questo non influenza il risultato poiché G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Per questo motivo, negli integrali definiti, la costante di integrazione non appare.

Una delle applicazioni più utili di questo tipo di integrale è che consente di calcolare l'area (volume) di una figura piatta (di un solido di rivoluzione), stabilendo funzioni adeguate e limiti di integrazione (e un asse di rotazione).

All'interno degli integrali definiti possiamo trovare varie estensioni di questo come ad esempio integrali di linea, integrali di superficie, integrali impropri, integrali multipli, tra gli altri, tutti con applicazioni molto utili in ambito scientifico e ingegneristico.

riferimenti

1. Casteleiro, J. M. (2012). È facile da integrare? Manuale autodidatta Madrid: ESIC.
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