Ragionamento algebrico (con esercizi risolti)

il ragionamento algebrico consiste essenzialmente nel comunicare un argomento matematico attraverso un linguaggio speciale, che lo rende più rigoroso e generale, facendo uso di variabili algebriche e operazioni definite tra loro. Una caratteristica della matematica è il rigore logico e la tendenza astratta usata nei suoi argomenti.

Per questo è necessario conoscere la "grammatica" corretta che dovrebbe essere usata in questo scritto. Inoltre, il ragionamento algebrico evita ambiguità nella giustificazione di un argomento matematico, che è essenziale per dimostrare qualsiasi risultato in matematica.

indice

• 1 variabili algebriche
• 2 espressioni algebriche
  • 2.1 Esempi
• 3 esercizi risolti
  • 3.1 Primo esercizio
  • 3.2 Secondo esercizio
  • 3.3 Terzo esercizio
• 4 riferimenti

Variabili algebriche

Una variabile algebrica è semplicemente una variabile (una lettera o un simbolo) che rappresenta un certo oggetto matematico.

Ad esempio, le lettere x, y, z vengono solitamente utilizzate per rappresentare i numeri che soddisfano una determinata equazione; le lettere p, q r, per rappresentare le formule proposizionali (o le loro rispettive maiuscole per rappresentare proposizioni specifiche); e le lettere A, B, X, ecc., per rappresentare gli insiemi.

Il termine "variabile" sottolinea che l'oggetto in questione non è fisso, ma varia. Tale è il caso di un'equazione, in cui le variabili vengono utilizzate per determinare le soluzioni che in linea di principio sono sconosciute.

In termini generali, una variabile algebrica può essere considerata come una lettera che rappresenta un oggetto, se è fisso o meno.

Proprio come le variabili algebriche sono usate per rappresentare oggetti matematici, possiamo anche considerare i simboli per rappresentare operazioni matematiche.

Ad esempio, il simbolo "+" rappresenta l'operazione "somma". Altri esempi sono le diverse notazioni simboliche del connettivo logico nel caso di proposizioni e insiemi.

Espressioni algebriche

Un'espressione algebrica è una combinazione di variabili algebriche per mezzo di operazioni definite in precedenza. Esempi di questo sono le operazioni di base di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri, o connettivo logico in proposizioni e insiemi.

Il ragionamento algebrico è responsabile dell'espressione di un ragionamento o argomento matematico mediante espressioni algebriche.

Questa forma di espressione aiuta a semplificare e abbreviare la scrittura, poiché fa uso di notazioni simboliche e ci consente di comprendere meglio il ragionamento, presentandolo in un modo più chiaro e preciso.

Esempi

Vediamo alcuni esempi che mostrano come viene utilizzato il ragionamento algebrico. Molto regolarmente viene utilizzato per risolvere problemi di logica e di ragionamento, come vedremo tra breve.

Considera la ben nota proposizione matematica "la somma di due numeri è commutativa". Vediamo come possiamo esprimere algebricamente questa proposizione: dati due numeri "a" e "b", ciò che questa proposizione significa è che a + b = b + a.

Il ragionamento usato per interpretare la proposizione iniziale ed esprimerlo in termini algebrici è un ragionamento algebrico.

Potremmo anche menzionare la famosa espressione "l'ordine dei fattori non altera il prodotto", che si riferisce al fatto che il prodotto di due numeri è anche commutativo e algebricamente espresso come axb = bxa.

Allo stesso modo, le proprietà associative e distributive per la somma e il prodotto possono essere espresse (e di fatto sono espresse) algebricamente, in cui sono incluse la sottrazione e la divisione.

Questo tipo di ragionamento copre un linguaggio molto ampio e viene utilizzato in più e diversi contesti. A seconda dei casi, in questi contesti dobbiamo riconoscere schemi, interpretare le affermazioni e generalizzare e formalizzare la loro espressione in termini algebrici, fornendo un ragionamento valido e sequenziale.

Esercizi risolti

Di seguito sono riportati alcuni problemi logici, che risolviamo utilizzando un ragionamento algebrico:

Primo esercizio

Qual è il numero che, rimuovendo la metà, è uguale a uno?

soluzione

Per risolvere questo tipo di esercizi è molto utile rappresentare il valore che vogliamo determinare per mezzo di una variabile. In questo caso vogliamo trovare un numero che rimuovendone la metà, produce il numero uno. Indichiamo con x il numero cercato.

"Rimuovere metà" da un numero implica dividerlo per 2. Quindi quanto sopra può essere espresso algebricamente come x / 2 = 1, e il problema si riduce a risolvere un'equazione, che in questo caso è lineare e molto semplice da risolvere. Cancellando x otteniamo che la soluzione sia x = 2.

In conclusione, 2 è il numero che rimuovendo metà di esso equivale a 1.

Secondo esercizio

Quanti minuti mancano entro la mezzanotte se mancavano 10 minuti a 5/3 di quello che manca adesso?

soluzione

Indichiamo con "z" il numero di minuti rimanenti entro la mezzanotte (è possibile utilizzare qualsiasi altra lettera). Vale a dire che solo ora ci sono "z" minuti a mezzanotte.Ciò implica che 10 minuti mancavano "z + 10" minuti per mezzanotte, e questo corrisponde ai 5/3 di ciò che manca ora; cioè, (5/3) z.

Quindi, il problema viene ridotto per risolvere l'equazione z + 10 = (5/3) z. Moltiplicando entrambi i lati dell'uguaglianza per 3, si ottiene l'equazione 3z + 30 = 5z.

Ora, raggruppando la variabile "z" su un lato dell'uguaglianza, otteniamo quel 2z = 15, che implica che z = 15.

Pertanto, rimangono 15 minuti fino a mezzanotte.

Terzo esercizio

In una tribù che pratica il baratto, ci sono queste equivalenze:

- Una lancia e una collana vengono scambiate per uno scudo.

- Una lancia è equivalente a un coltello e una collana.

- Due scudi vengono scambiati per tre unità di coltelli.

Quanti collari è equivalente alla lancia?

soluzione

Sean:

Co = una collana

L = una lancia

E = uno scudo

Cu = un coltello

Quindi abbiamo le seguenti relazioni:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Quindi il problema si riduce alla soluzione di un sistema di equazioni. Nonostante abbia più incognite che equazioni, questo sistema può essere risolto, poiché non richiedono una soluzione specifica ma una delle variabili che dipendono da un'altra. Quello che dovremmo fare è esprimere "Co" esclusivamente in funzione di "L".

Dalla seconda equazione abbiamo che Cu = L - Co. Sostituendo nel terzo otteniamo che E = (3L - 3Co) / 2. Infine, sostituendo la prima equazione e semplificandola, otteniamo che 5Co = L; cioè, che una lancia equivale a cinque collari.

riferimenti

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