Teorema di Bernoulli L'equazione di Bernoulli, le applicazioni e l'esercizio risolto

il Il teorema di Bernoulli, che descrive il comportamento di un fluido in movimento, è stato enunciato dal matematico e fisico Daniel Bernoulli nel suo lavoro idrodinamica. Secondo il principio, un fluido ideale (senza attrito o viscosità) che è in circolazione da un condotto chiuso, avrà un'energia costante nel suo percorso.

Il teorema può essere dedotto dal principio di conservazione dell'energia e persino dalla seconda legge del moto di Newton. Inoltre, il principio di Bernoulli afferma anche che un aumento della velocità di un fluido significa una diminuzione della pressione a cui è sottoposto, una diminuzione della sua energia potenziale o entrambi allo stesso tempo.

Il teorema ha molte applicazioni diverse, sia per quanto riguarda il mondo della scienza e la vita quotidiana delle persone.

Le sue conseguenze sono presenti nella forza degli aerei, nei camini delle case e delle industrie, nei tubi dell'acqua, tra le altre aree.

indice

• 1 equazione di Bernoulli
  • 1.1 Forma semplificata
• 2 applicazioni
• 3 Esercizio risolto
• 4 riferimenti

Equazione di Bernoulli

Sebbene Bernoulli sia stato colui che ha dedotto che la pressione diminuisce quando la velocità del flusso aumenta, il fatto è che fu Leonhard Euler che effettivamente sviluppò l'equazione di Bernoulli nel modo in cui è attualmente conosciuta.

In ogni caso, l'equazione di Bernoulli, che non è altro che l'espressione matematica del suo teorema, è la seguente:

v² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = costante

In questa espressione, v è la velocità del fluido attraverso la sezione considerata, ƿ è la densità del fluido, P è la pressione del fluido, g è il valore dell'accelerazione di gravità, e z è l'altezza misurata nella direzione di gravità.

È implicito nell'equazione di Bernoulli che l'energia di un fluido consiste di tre componenti:

- Un componente cinetico, che è il risultato della velocità alla quale il fluido si muove.

- Un potenziale o componente gravitazionale, che è dovuto all'altezza alla quale si trova il fluido.

- Un'energia di pressione, che è ciò che il fluido possiede a causa della pressione a cui è sottoposto.

D'altra parte, l'equazione di Bernoulli può anche essere espressa in questo modo:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Quest'ultima espressione è molto pratica per analizzare i cambiamenti che un fluido sperimenta quando uno qualsiasi degli elementi che compongono l'equazione cambia.

Forma semplificata

In certe occasioni il cambiamento nel termine ρgz dell'equazione di Bernoulli è minimo rispetto a quello sperimentato dagli altri termini, quindi è possibile trascurarlo. Ad esempio, questo accade nelle correnti che un aereo sperimenta durante il volo.

In queste occasioni, l'equazione di Bernoulli è espressa come segue:

P + q = P₀

In questa espressione q è la pressione dinamica ed è uguale a v ² ∙ ƿ / 2 e P₀ è la cosiddetta pressione totale ed è la somma della pressione statica P e della pressione dinamica q.

applicazioni

Il teorema di Bernoulli ha molte e diverse applicazioni in campi diversi come scienza, ingegneria, sport, ecc.

Un'applicazione interessante si trova nella progettazione di camini. I camini sono costruiti in altezza per ottenere una maggiore differenza di pressione tra la base e l'uscita del camino, grazie alla quale è più facile estrarre i gas di combustione.

Naturalmente, l'equazione di Bernoulli si applica anche allo studio del movimento dei flussi di liquidi nelle tubature. Dall'equazione ne consegue che una riduzione della superficie trasversale del tubo, al fine di aumentare la velocità del fluido che lo attraversa, implica anche una diminuzione della pressione.

L'equazione di Bernoulli è utilizzata anche nell'aviazione e nei veicoli di Formula 1. Nel caso dell'aviazione, l'effetto di Bernoulli è l'origine del supporto aereo.

Le ali del velivolo sono progettate con l'obiettivo di ottenere un maggiore flusso d'aria nella parte superiore dell'ala.

Pertanto, nella parte superiore dell'ala la velocità dell'aria è elevata e, quindi, la pressione più bassa. Questa differenza di pressione produce una forza diretta verticalmente verso l'alto (forza di sollevamento) che consente all'aereo di mantenersi in aria. Un effetto simile si ottiene negli alettoni delle auto di Formula 1.

Esercizio determinato

Attraverso un tubo con una sezione trasversale di 4,2 cm² una corrente d'acqua scorre a 5,18 m / s. L'acqua scende da un'altezza di 9,66 m ad un livello inferiore con un'altezza di zero, mentre la superficie trasversale del tubo aumenta fino a 7,6 cm².

a) Calcola la velocità del flusso d'acqua nel livello inferiore.

b) Determina la pressione nel livello inferiore sapendo che la pressione nel livello superiore è di 152000 Pa.

soluzione

a) Poiché il flusso deve essere conservato, ne consegue che:

Q_{livello superiore} = Q_{livello inferiore}

v₁ . S₁ = v₂ . S₂

5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7,6 cm ^²

Clearing, ottieni quello:

v₂ = 2,86 m / s

b) Applicando il teorema di Bernoulli tra i due livelli e tenendo conto che la densità dell'acqua è di 1000 kg / m³ , ottieni quello:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Clearing P₂ tu arrivi a:

P₂ = 257926,4 Pa

riferimenti

1. Il principio di Bernoulli. (N.d.). In Wikipedia Estratto il 12 maggio 2018 da es.wikipedia.org.
2. Il principio di Bernoulli. (N.d.). In Wikipedia Estratto il 12 maggio 2018 da en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Un'introduzione alla fluidodinamica. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). idrodinamica (Sesto ed.). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Meccanica dei fluidi applicati (4 ° ed.). Messico: Pearson Education.