Funzioni del triangolo della scala, formula e aree, calcolo



un triangolo scaleno è un poligono a tre lati, in cui ognuno ha diverse misure o lunghezze; per questo motivo viene dato il nome scalene, che in latino significa arrampicarsi.

I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Nel caso del triangolo scaleno, poiché ha tutti i lati diversi, implica che anche i suoi tre angoli saranno.

indice

  • 1 Caratteristiche dei triangoli scaleni
    • 1.1 Componenti
  • 2 proprietà
    • 2.1 Angoli interni
    • 2.2 Somma dei lati
    • 2.3 Lati incoerenti
    • 2.4 Angoli incongruenti
    • 2,5 Altezza, mediana, bisettrice e bisettrice non sono coincidenti
    • 2.6 Orthocenter, baricentro, incenter e circumcenter non sono coincidenti
    • 2.7 Altezze relative
  • 3 Come calcolare il perimetro?
  • 4 Come calcolare l'area?
  • 5 Come calcolare l'altezza?
  • 6 Come calcolare i lati?
  • 7 esercizi
    • 7.1 Primo esercizio
    • 7.2 Secondo esercizio
    • 7.3 Terzo esercizio
  • 8 riferimenti

Caratteristiche dei triangoli scaleni

I triangoli di scala sono poligoni semplici perché nessuno dei loro lati o angoli ha la stessa misura, a differenza di isoscele e triangoli equilateri.

Poiché tutti i suoi lati e angoli hanno misurazioni diverse, questi triangoli sono considerati poligoni convessi irregolari.

In base all'ampiezza degli angoli interni, i triangoli scaleni sono classificati come:

  • Scala triangolo rettangolo: tutti i suoi lati sono diversi. Uno dei suoi angoli è dritto (90o) e gli altri sono nitidi e con misure diverse.
  • Scala angolo ottuso triangolo: tutti i suoi lati sono diversi e uno dei suoi angoli è ottuso (> 90o).
  • Scala il triangolo dell'angolo acuto: tutti i suoi lati sono diversi. Tutti gli angoli sono nitidi (<90o), con misure diverse.

Un'altra caratteristica dei triangoli scaleni è che a causa dell'incongruità dei loro lati e angoli, non hanno un asse di simmetria.

componenti

La mediana: è una linea che parte dal punto medio di un lato e raggiunge il vertice opposto. Le tre mediane concordano in un punto chiamato centrocentro o centro centro.

La bisettrice: è un raggio che divide ciascun angolo in due angoli di uguale dimensione. Le bisettrici di un triangolo concordano in un punto chiamato incentro.

La mediatrice: è un segmento perpendicolare al lato del triangolo, che ha origine nel mezzo di questo. Ci sono tre mediatrices in un triangolo e concorrono in un punto chiamato circumcenter.

L'altezza: è la linea che va dal vertice al lato opposto e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze che coincidono in un punto chiamato ortocentro.

proprietà

I triangoli di scala sono definiti o identificati perché hanno diverse proprietà che li rappresentano, originati dai teoremi proposti da grandi matematici. Sono:

Angoli interni

La somma degli angoli interni è sempre uguale a 180o.

Somma dei lati

La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, a + b> c.

Lati incoerenti

Tutti i lati dei triangoli scaleni hanno misure o lunghezze diverse; cioè, sono incongruenti.

Angoli incoerenti

Poiché tutti i lati del triangolo scaleno sono diversi, anche i loro angoli saranno diversi. Tuttavia, la somma degli angoli interni sarà sempre uguale a 180º, e in alcuni casi, uno dei suoi angoli può essere ottuso o dritto, mentre in altri tutti i suoi angoli saranno acuti.

Altezza, mediana, bisettrice e bisettrice non sono coincidenti

Come ogni triangolo, lo scaleno ha diversi segmenti di linee rette che lo compongono, come: altezza, mediana, bisettrice e bisettrice.

A causa della particolarità dei suoi lati, in questo tipo di triangolo nessuna di queste linee coinciderà in una sola.

Ortocentro, baricentro, incentratore e circoncenter non sono coincidenti

Come altezza, bisettrice bisettrice mediana e sono rappresentati da diversi segmenti di linea in punti-the incontro scaleno triangolo orthocenter e circuncentro- centroide Incentro sarà situato in punti diversi (non corrispondere).

A seconda che il triangolo sia acuto, rettangolare o scaleno, l'ortocentro ha posizioni diverse:

a. Se il triangolo è acuto, l'ortocentro sarà all'interno del triangolo.

b. Se il triangolo è un rettangolo, l'ortocentro coinciderà con il vertice del lato dritto.

c. Se il triangolo è ottuso, l'ortocentro si troverà all'esterno del triangolo.

Altezze relative

Le altezze sono relative ai lati.

Nel caso del triangolo scaleno queste altezze avranno misurazioni diverse. Ogni triangolo ha tre altezze relative e per calcolarle viene utilizzata la formula di Heron.

Come calcolare il perimetro?

Il perimetro di un poligono è calcolato dalla somma dei lati.

Come in questo caso il triangolo scaleno ha tutti i suoi lati con misure diverse, il suo perimetro sarà:

P = lato a + lato b + lato c.

Come calcolare l'area?

L'area dei triangoli viene sempre calcolata con la stessa formula, moltiplicando la base per altezza e dividendo per due:

Area = (base * h) ÷ 2

In alcuni casi l'altezza del triangolo scaleno non è nota, ma c'è una formula che è stata proposta dal matematico Heron, per calcolare l'area conoscendo la misurazione dei tre lati di un triangolo.

dove:

  • a, b e c, rappresentano i lati del triangolo.
  • sp, corrisponde al semiperimetro del triangolo, cioè metà del perimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Nel caso in cui si abbia solo la misurazione di due dei lati del triangolo e l'angolo che si forma tra di loro, l'area può essere calcolata applicando i rapporti trigonometrici. Quindi devi:

Area = (lato * h) ÷ 2

Dove l'altezza (h) è il prodotto di un lato dal seno dell'angolo opposto. Ad esempio, per ogni lato, l'area sarà:

  • Area = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Area = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Area = (a * B * sen C) ÷ 2

Come calcolare l'altezza?

Poiché tutti i lati del triangolo scaleno sono diversi, non è possibile calcolare l'altezza con il teorema di Pitagora.

Dalla formula di Airone, che si basa sulle misure dei tre lati di un triangolo, l'area può essere calcolata.

L'altezza può essere cancellata dalla formula generale dell'area:

Il lato viene sostituito dalla misura del lato a, boc.

Un altro modo per calcolare l'altezza quando il valore di uno degli angoli è noto, è applicare i rapporti trigonometrici, dove l'altezza rappresenterà una gamba del triangolo.

Ad esempio, quando l'angolo opposto all'altezza è noto, sarà determinato dal seno:

Come calcolare i lati?

Quando hai la misura di due lati e l'angolo opposto a questi, è possibile determinare il terzo lato applicando il teorema dei coseni.

Ad esempio, in un triangolo AB, viene tracciata l'altezza relativa del segmento CA. In questo modo il triangolo è diviso in due triangoli rettangoli.

Per calcolare il lato c (segmento AB), il teorema di Pitagora viene applicato per ogni triangolo:

  • Per il triangolo blu devi:

c2 = h2 + m2

Come m = b - n, è sostituito:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Per il triangolo rosa devi:

h2 = a2 - n2

È sostituito nell'equazione precedente:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2bn.

Sapendo che n = a * cos C, è sostituito nell'equazione precedente e il valore del lato c è ottenuto:

c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Secondo la legge dei coseni, i lati possono essere calcolati come:

  • a2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • B2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Ci sono casi in cui le misure dei lati del triangolo non sono note, ma la loro altezza e gli angoli che si formano nei vertici. Per determinare l'area in questi casi è necessario applicare i rapporti trigonometrici.

Conoscendo l'angolo di uno dei suoi vertici, le gambe vengono identificate e viene utilizzato il rapporto trigonometrico corrispondente:

Ad esempio, la gamba AB sarà opposta per l'angolo C, ma adiacente all'angolo A. A seconda del lato o della gamba corrispondente all'altezza, l'altro lato viene cancellato per ottenere il valore di questo.

formazione

Primo esercizio

Calcola l'area e un'altezza del triangolo scaleno ABC, sapendo che i suoi lati sono:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm

soluzione

Dato che i dati sono dati le misure dei tre lati del triangolo scaleno.

Poiché non hai il valore di altezza, puoi determinare l'area applicando la formula Heron.

Prima viene calcolato il semiperimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Ora i valori nella formula di Heron sono sostituiti:

Conoscendo l'area si può calcolare l'altezza relativa sul lato b. Dalla formula generale, cancellandola abbiamo:

Area = (lato * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Secondo esercizio

Dato il triangolo scaleno ABC, le cui misure sono:

  • Segmento AB = 25 m.
  • Segmento BC = 15 m.

Al vertice B si forma un angolo di 50 °. Calcola l'altezza relativa sul lato c, il perimetro e l'area di quel triangolo.

soluzione

In questo caso abbiamo le misure di due lati. Per determinare l'altezza è necessario calcolare la misura del terzo lato.

Poiché viene dato l'angolo opposto ai lati indicati, è possibile applicare la legge dei coseni per determinare la misura del lato AC (b):

B2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

dove:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

I dati sono sostituiti:

B2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

B2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

B2 = (225) + (625) - (482,025)

B2 = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Poiché abbiamo già il valore dei tre lati, calcoliamo il perimetro di quel triangolo:

P = lato a + lato b + lato c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Ora è possibile determinare l'area applicando la formula di Airone, ma prima deve essere calcolato il semiperimetro:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Le misure dei lati e del semiperimetro sono sostituite nella formula di Airone:

Infine conoscendo l'area si può calcolare l'altezza relativa sul lato c. Dalla formula generale, cancellandola devi:

Area = (lato * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Terzo esercizio

Nel triangolo scaleno ABC il lato b misura 40 cm, il lato c misura 22 cm e nel vertice A si forma un angolo di 90o. Calcola l'area di quel triangolo.

soluzione

In questo caso vengono fornite le misure dei due lati del triangolo scaleno ABC, così come l'angolo che si forma nel vertice A.

Per determinare l'area non è necessario calcolare la misura del lato a, poiché attraverso i rapporti trigonometrici si usa l'angolo per trovarlo.

Poiché l'angolo opposto all'altezza è noto, questo sarà determinato dal prodotto su un lato e dal seno dell'angolo.

Sostituendo nella formula dell'area devi:

  • Area = (lato * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Area = (b * c * sen A) ÷ 2

Area = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Area = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Area = 880 cm2 ÷ 2

Area = 440 cm2.

riferimenti

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Disegno tecnico: quaderno delle attività.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrie. Tecnologia CR.
  3. Angel, A. R. (2007). Algebra elementare Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. L'Avana: cultura.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Geometria euclidea piatta. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Fondamenti di geometria. Messico: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Geometria elementare per studenti universitari. Apprendimento Cengage
  8. Harpe, P. d. (2000). Argomenti nella teoria dei gruppi geometrici. Università di Chicago Press.