Trinomiale della forma x ^ 2 + bx + c (con esempi)

Prima di imparare a risolvere il trinomio della forma x ^ 2 + bx + ce anche prima di conoscere il concetto di trinomio, è importante conoscere due nozioni essenziali; vale a dire i concetti di monomio e polinomio. Un monomio è un'espressione del tipo a * xⁿ, dove a è un numero razionale, n è un numero naturale e x è una variabile.

Un polinomio è una combinazione lineare di monomi della forma a_n* xⁿ+ a_n-1* x^n-1+ ... + a₂* x²+ a₁* x + a₀, dove ciascuno_io, con i = 0, ..., n, è un numero razionale, n è un numero naturale e a_n è diverso da zero. In questo caso si dice che il grado del polinomio è n.

Un polinomio formato dalla somma di due soli termini (due monomi) di gradi diversi è noto come binomio.

indice

• 1 Trinomiale
  • 1.1 Trinomio quadrato perfetto
• 2 Caratteristiche dei trinomiali di grado 2
  • 2.1 Quadrato perfetto
  • 2.2 Formula solvente
  • 2.3 Interpretazione geometrica
  • 2.4 Factoring dei trinomiali
• 3 esempi
  • 3.1 Esempio 1
  • 3.2 Esempio 2
• 4 riferimenti

trinomi

Un polinomio formato dalla somma di soli tre termini (tre monomi) di gradi diversi è noto come trinomio. I seguenti sono esempi di trinomials:

• x³+ x²+ 5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+ 6x + 3

Esistono diversi tipi di trinomiali. Di questi mette in evidenza il perfetto trinomio quadrato.

Trinomio quadrato perfetto

Un trinomio quadrato perfetto è il risultato dell'innalzamento di un binomio al quadrato. Ad esempio:

• (3x-2)²= 9 volte²-12x + 4
• (2x³+ y)²= 4x⁶+ 4x³y + y²
• (4x²2y⁴)²= 16x⁴-16x²e⁴+ 4y⁸
• 1 / 16x²e⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴Z)²

Caratteristiche dei trinomiali di grado 2

Quadrato perfetto

In generale, un trinomio dell'ascia di forma²+ bx + c è un quadrato perfetto se il suo discriminante è uguale a zero; cioè, se b²-4ac = 0, poiché in questo caso avrà solo una radice e può essere espressa nella forma a (x-d)²= (√a (x-d))², dove d è la radice già menzionata.

Una radice di un polinomio è un numero in cui il polinomio diventa zero; in altre parole, un numero che, sostituendolo in x nell'espressione del polinomio, risulta in zero.

Formula solvente

Una formula generale per il calcolo delle radici di un polinomio del secondo grado dell'ascia della forma²+ bx + c è la formula del resolver, che afferma che queste radici sono date da (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, dove b²-4ac è noto come discriminante ed è solitamente indicato con Δ. Da questa formula segue quell'ascia²+ bx + c ha:

- Due radici reali diverse se Δ> 0.

- Una singola radice reale se Δ = 0.

- Non ha radice reale se Δ <0.

Di seguito, verranno considerati solo i trinomiali della forma x²+ bx + c, dove chiaramente c deve essere un numero diverso da zero (altrimenti sarebbe un binomio). Questo tipo di trinomio presenta alcuni vantaggi quando si tratta di fattorizzare e operare con essi.

Interpretazione geometrica

Geometricamente, il trinomio x²+ bx + c è una parabola che si apre verso l'alto e ha il vertice nel punto (-b / 2, -b²/ 4 + c) del piano cartesiano perché x²+ bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Questa parabola taglia l'asse Y nel punto (0, c) e l'asse X nei punti (d₁, 0) e (d)₂, 0); allora, d₁ e d₂ sono le radici del trinomio. Può succedere che il trinomio abbia una singola radice d, nel qual caso l'unico taglio con l'asse X sarebbe (d, 0).

Potrebbe anche accadere che il trinomio non abbia radici reali, nel qual caso non taglierebbe l'asse X in nessun punto.

Ad esempio, x²+ 6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² è la parabola con vertice in (-3,0), che taglia l'asse Y in (0,9) e l'asse X in (-3,0).

Factorizzazione trinomiale

Uno strumento molto utile quando si lavora con i polinomi è il factoring, che è quello di esprimere un polinomio come un prodotto di fattori. In generale, dato un trinomio della forma x²+ bx + c, se ha due radici diverse d₁ e d₂, può essere fattorizzato come (x-d)₁) (x-d)₂).

Se hai solo una radice d, puoi calcolarla come (x-d) (x-d) = (x-d)²e se non ha radici reali, rimane lo stesso; in questo caso, non supporta il factoring come un prodotto di fattori diversi da se stesso.

Ciò significa che, conoscendo le radici di un trinomio della forma già stabilita, la sua fattorizzazione può essere facilmente espressa, e come già accennato, queste radici possono sempre essere determinate usando il resolver.

Tuttavia, c'è una quantità significativa di questo tipo di trinomie che possono essere prese in considerazione senza dover conoscere in anticipo le loro radici, il che semplifica il lavoro.

Le radici possono essere determinate direttamente dalla fattorizzazione senza la necessità di usare la formula del resolver; questi sono i polinomi della forma x² + (a + b) x + ab. In questo caso abbiamo:

x²+ (a + b) x + ab = x²+ ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Da qui si osserva facilmente che le radici sono -a e -b.

In altre parole, dato un trinomio x²+ bx + c, se ci sono due numeri uev tali che c = uv eb = u + v, quindi x²+ bx + c = (x + u) (x + v).

Cioè, dato un trinomio x²+ bx + c, per prima cosa verifica se ci sono due numeri tali che moltiplicato den il termine indipendente (c) e aggiunto (o sottratto, a seconda dei casi), dare il termine che accompagna la x (b).

Non con tutti i trinomiali in questo modo si può applicare questo metodo; dove non puoi, vai al risolutore e applica quanto sopra.

Esempi

Esempio 1

Per calcolare il seguente trinomio x²+ 3x + 2 procediamo come segue:

Devi trovare due numeri in modo tale che quando li aggiungi, il risultato è 3 e quando li si moltiplica, il risultato è 2.

Dopo aver effettuato un'ispezione si può concludere che i numeri ricercati sono: 2 e 1. Pertanto, x²+ 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Esempio 2

Per calcolare il trinomio x²-5x + 6 stanno cercando due numeri la cui somma è -5 e il suo prodotto è 6. I numeri che soddisfano queste due condizioni sono -3 e -2. Pertanto, la fattorizzazione del dato trinomio è x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

riferimenti

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5. Preciado, C. T. (2005). Corso di matematica 3 °. Progress Editorial.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I Is Easy! Così facile Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra e trigonometria Pearson Education.