Regola di Sarrus in cosa consiste e tipi di determinanti

il Regola di Sarrus è usato per calcolare il risultato di determinanti di 3 × 3. Questi sono usati per risolvere equazioni lineari e sapere se sono compatibili.

I sistemi compatibili consentono di ottenere la soluzione più facilmente. Sono anche usati per determinare se serie di vettori sono linearmente indipendenti e formano la base dello spazio vettoriale.

Queste applicazioni sono basate sull'invertibilità delle matrici. Se una matrice è regolare, il suo determinante è diverso da 0. Se singolare, il suo determinante è 0. determinanti possono essere calcolati solo in matrici quadrate.

Per calcolare le matrici di qualsiasi ordine, è possibile utilizzare il teorema di Laplace. Questo teorema ci consente di semplificare le matrici di alte dimensioni, in somme di piccoli determinanti che decomponiamo dalla matrice principale.

Afferma che il determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti di ogni riga o colonna, per il determinante della matrice allegata.

Questo sta riducendo i determinanti in modo che un determinante di grado n diventi n determinanti di n-1. Se applichiamo questa regola in successione, siamo in grado di arrivare a ottenere determinanti della dimensione 2 (2 × 2) o 3 (3 × 3), dove è molto più facile da calcolare.

Regola di Sarrus

Pierre Frederic Sarrus era un matematico francese del 19 ° secolo. La maggior parte dei suoi trattati matematici si basano su metodi per risolvere equazioni e calcolare le variazioni, all'interno delle equazioni numeriche.

In uno dei suoi trattati, ha risolto uno degli enigmi più complessi della meccanica. Per risolvere i problemi delle parti articolate, Sarrus ha introdotto la trasformazione di movimenti rettilinei alternativi, in movimenti circolari uniformi. Questo nuovo sistema è noto come meccanismo di Sarrus.

La ricerca che ha dato più fama questo matematico è stata quella che ha introdotto un nuovo metodo di calcolo per la determinazione, nell'articolo "Nouvelles methodes pour la résolution des Equations" (Nuovo metodo per risolvere le equazioni), che è stato pubblicato nella anno 1833. Questo modo di risolvere equazioni lineari, è noto come regola di Sarrus.

Sarrus regola per calcolare il determinante di una matrice 3 × 3, senza utilizzare l'espansione di Laplace, introducendo un metodo molto più semplice ed intuitivo. Per poter controllare il valore della regola di Sarrus, prendiamo qualsiasi matrice di dimensione 3:

Il calcolo del suo determinante sarebbe effettuato dal prodotto delle sue diagonali principali, sottraendo il prodotto dalle diagonali inverse. Questo sarebbe il seguente:

La regola di Sarrus ci consente di ottenere una visione molto più semplice nel calcolo delle diagonali del determinante. Sarebbe semplificato aggiungendo le prime due colonne sul retro della matrice. In questo modo, puoi vedere più chiaramente quali sono le tue diagonali principali e quali sono il contrario, per il calcolo del prodotto.

Attraverso questa immagine possiamo vedere l'applicazione della regola di Sarrus, includiamo le righe 1 e 2, sotto la rappresentazione grafica della matrice iniziale. In questo modo, le diagonali principali sono le tre diagonali che appaiono in primo luogo.

Le tre diagonali inverse, a loro volta, sono quelle che appaiono prima nella parte posteriore.

Così, le diagonali appaiono in modo più visivo, senza complicare la risoluzione del determinante, cercando di capire quali elementi della matrice appartengono a ciascun diagonale.

Come appare nell'immagine, scegliamo le diagonali e calcoliamo il prodotto risultante di ciascuna funzione. Le diagonali che appaiono in blu sono quelle che si sommano. Alla somma di questi, sottraiamo il valore delle diagonali che appaiono in rosso.

Per semplificare la compressione, possiamo usare un esempio numerico, invece di usare termini algebrici e sotto-termini.

Se prendiamo una matrice 3 × 3, ad esempio:

Per applicare la regola di Sarrus e risolverla in un modo più visivo, dovremmo includere le righe 1 e 2, rispettivamente come riga 4 e 5. È importante mantenere la riga 1 in quarta posizione e la riga 2 in quinta posizione. Perché se li scambiamo, la Regola di Sarrus non sarà efficace.

Per calcolare il determinante, la nostra matrice sarebbe simile a questa:

Per continuare con il calcolo, moltiplichiamo gli elementi delle diagonali principali. I discendenti che iniziano con la sinistra, prenderanno segno positivo; mentre le diagonali inverse, che sono quelle che iniziano a destra, portano un segno negativo.

In questo esempio, quelli blu andrebbero con un segno positivo e quelli rossi con un segno negativo. Il calcolo finale della Regola di Sarrus sarebbe come questo:

Tipi di determinanti

Determinante della dimensione 1

Se la dimensione della matrice è 1, la matrice è come questa: A = (a)

Pertanto, il suo determinante sarebbe il seguente: det (A) = | A | = a

In sintesi, il determinante della matrice A è uguale al valore assoluto della matrice A, che in questo caso è a.

Determinante della dimensione 2

Se andiamo a matrici di dimensione 2, otteniamo matrici del tipo:

Dove il suo determinante è definito come:

La risoluzione di questo determinante si basa sulla moltiplicazione della sua diagonale principale, sottraendo il prodotto dalla sua diagonale inversa.

Come regola mnemonica, possiamo usare il seguente diagramma per ricordare il suo determinante:

Determinante della dimensione 3

Se la dimensione della matrice è 3, la matrice risultante sarebbe di questo tipo:

Il determinante di questa matrice verrebbe risolto attraverso la regola di Sarrus in questo modo:

riferimenti

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