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Tecniche tecniche di conteggio, applicazioni ed esempi
il tecniche di conteggio sono una serie di metodi probabilistici per contare il numero possibile di arrangiamenti all'interno di un insieme o di diversi gruppi di oggetti. Questi vengono utilizzati quando gli account diventano manualmente complicati a causa del numero elevato di oggetti e / o variabili.
Ad esempio, la soluzione a questo problema è molto semplice: immagina che il tuo capo ti chieda di contare gli ultimi prodotti arrivati nell'ultima ora. In questo caso potresti andare e contare i prodotti uno per uno.
Tuttavia, immagina che il problema sia questo: il tuo capo ti chiede di contare quanti gruppi di 5 prodotti dello stesso tipo possono essere formati con quelli che hanno raggiunto l'ultima ora. In questo caso, il calcolo è complicato. Le cosiddette tecniche di conteggio sono utilizzate per questo tipo di situazione.
Queste tecniche sono diverse, ma le più importanti sono divise in due principi di base, che sono il moltiplicativo e l'additivo; permutazioni e combinazioni.
indice
- 1 principio moltiplicativo
- 1.1 Applicazioni
- 1.2 Esempio
- 2 Principio additivo
- 2.1 Applicazioni
- 2.2 Esempio
- 3 permutazioni
- 3.1 Applicazioni
- 3.2 Esempio
- 4 combinazioni
- 4.1 Applicazioni
- 4.2 Esempio
- 5 riferimenti
Principio moltiplicativo
applicazioni
Il principio moltiplicativo, insieme con l'additivo, sono fondamentali per comprendere il funzionamento delle tecniche di conteggio. Nel caso del moltiplicativo, si compone di quanto segue:
Immaginate un'attività che coinvolge un numero specifico di passaggi (il totale è contrassegnato come "r"), dove il primo passo può essere fatto di forme N1, il secondo passo di N2 e il passo "r" di Nr moduli. In questo caso, l'attività potrebbe essere eseguita dal numero di moduli risultanti da questa operazione: N1 x N2 x ... .x Nr form
Questo è il motivo per cui questo principio si chiama moltiplicativo e implica che ognuno dei passaggi necessari per svolgere l'attività deve essere fatto uno dopo l'altro.
esempio
Immaginiamo una persona che vuole costruire una scuola. Per fare ciò, considera che la base dell'edificio può essere costruita in due modi diversi, cemento o cemento. Per quanto riguarda le pareti, possono essere fatte di mattoni, cemento o mattoni.
Per quanto riguarda il tetto, può essere realizzato in cemento o lamiera zincata. Infine, il dipinto finale può essere fatto solo in un modo. La domanda che sorge è la seguente: quanti modi deve costruire la scuola?
Innanzitutto, consideriamo il numero di passaggi, che sarebbero la base, i muri, il tetto e il dipinto. In totale, 4 passi, quindi r = 4.
La prossima cosa sarebbe quella di elencare la N:
N1 = modi per costruire la base = 2
N2 = modi per costruire i muri = 3
N3 = modi per costruire il tetto = 2
N4 = modi per fare pittura = 1
Pertanto, il numero di moduli possibili verrebbe calcolato dalla formula sopra descritta:
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 modi di fare scuola.
Principio additivo
applicazioni
Questo principio è molto semplice e consiste nel fatto che, nel caso di diverse alternative esistenti per svolgere la stessa attività, le possibili forme consistono nella somma dei diversi modi possibili di realizzare tutte le alternative.
In altre parole, se vogliamo svolgere un'attività con tre alternative, dove la prima alternativa può essere fatta in M, la seconda in N e l'ultima in W, l'attività può essere fatta in: M + N + ... + W .
esempio
Immagina questa volta una persona che vuole comprare una racchetta da tennis. Per questo, ha tre marchi tra cui scegliere: Wilson, Babolat o Head.
Quando va al negozio, vede che la racchetta Wilson può essere acquistata con il manico di due diverse dimensioni, L2 o L3 in quattro diversi modelli e può essere infilata o senza corde.
La racchetta Babolat, d'altra parte, ha tre maniglie (L1, L2 e L3), ci sono due diversi modelli e può anche essere infilata o senza corde.
La racchetta Head, d'altra parte, è solo con una maniglia, la L2, in due diversi modelli e solo senza incordature. La domanda è: quanti modi ha questa persona per comprare la sua racchetta?
M = Numero di modi per selezionare una racchetta Wilson
N = numero di modi per selezionare una racchetta Babolat
W = Numero di modi per selezionare una testa di racchetta
Facciamo il principio di moltiplicazione:
M = 2 x 4 x 2 = 16 forme
N = 3 x 2 x 2 = 12 forme
W = 1 x 2 x 1 = 2 forme
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 modi per scegliere una racchetta.
Per sapere quando usare il principio moltiplicativo e l'additivo, devi solo verificare se l'attività ha una serie di passaggi da eseguire e se ci sono diverse alternative, l'additivo.
permutazioni
applicazioni
Per capire cos'è una permutazione, è importante spiegare che cos'è una combinazione per distinguerli e sapere quando usarli.
Una combinazione sarebbe una disposizione di elementi in cui non siamo interessati alla posizione che ciascuno di essi occupa.
Una permutazione, d'altra parte, sarebbe un accordo di elementi in cui siamo interessati alla posizione che ciascuno di essi occupa.
Facciamo un esempio per capire meglio la differenza.
esempio
Immagina una classe con 35 studenti e con le seguenti situazioni:
- L'insegnante vuole che tre dei suoi studenti lo aiutino a mantenere pulita la classe o a consegnare materiali agli altri studenti quando ne ha bisogno.
- L'insegnante vuole nominare i delegati della classe (un presidente, un assistente e un finanziere).
La soluzione sarebbe la seguente:
- Immagina che, votando, Juan, María e Lucía vengano scelti per pulire la classe o consegnare i materiali. Ovviamente, potrebbero essersi formati altri gruppi di tre persone, tra i 35 possibili studenti.
Dobbiamo chiederci quanto segue: l'ordine o la posizione che ciascuno degli studenti occupa al momento della loro selezione è importante?
Se ci pensiamo, vediamo che non è davvero importante, dal momento che il gruppo si prenderà cura di entrambi i compiti allo stesso modo. In questo caso, è una combinazione, dal momento che non siamo interessati alla posizione degli elementi.
- Ora immagina che John sia scelto come presidente, Maria come assistente e Lucia come finanziaria.
In questo caso, l'ordine sarebbe importante? La risposta è sì, perché se cambiamo gli elementi, il risultato cambia. Cioè, se invece di mettere Juan come presidente, lo mettiamo come assistente, e Maria come presidente, il risultato finale cambierebbe. In questo caso è una permutazione.
Una volta compresa la differenza, otterremo le formule di permutazioni e combinazioni. Tuttavia, per prima cosa dobbiamo definire il termine "n!" (Fattoriale), poiché verrà utilizzato nelle diverse formule.
n! = al prodotto da 1 a n.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n
Usandolo con numeri reali:
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120
La formula delle permutazioni sarebbe la seguente:
nPr = n! / (n-r)!
Con esso possiamo scoprire le modalità in cui l'ordine è importante e dove gli elementi n sono diversi.
combinazioni
applicazioni
Come abbiamo già detto in precedenza, le combinazioni sono le disposizioni in cui non ci interessa la posizione degli elementi.
La sua formula è la seguente:
nCr = n! / (n-r)! r!
esempio
Se ci sono 14 studenti che vogliono fare volontariato per pulire l'aula, quanti gruppi di pulizia possono formare ogni gruppo da 5 persone?
La soluzione, quindi, sarebbe la seguente:
n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 gruppi
riferimenti
- Jeffrey, R.C.,Probabilità e Arte del Giudizio, Cambridge University Press. (1992).
- William Feller, "Un'introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
- Finetti, Bruno de (1970). "Fondamenti logici e misurazione della probabilità soggettiva". Atto psicologico.
- Hogg, Robert V; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introduzione alle statistiche matematiche (Sesto ed.). Upper Saddle River: Pearson.
- Franklin, J. (2001)La scienza della congettura: prove e probabilità prima di Pascal,Johns Hopkins University Press.