4 esercizi di factoring con soluzioni

il esercizi di factoring aiutano a capire questa tecnica, che è ampiamente usata in matematica e consiste nel processo di scrivere una somma come un prodotto di certi termini.

La parola fattorizzazione si riferisce a fattori, che sono termini che moltiplicano altri termini.

Ad esempio, nella scomposizione del fattore primo di un numero naturale, i numeri primi coinvolti sono chiamati fattori.

Cioè, 14 può essere scritto come 2 * 7. In questo caso, i fattori primi di 14 sono 2 e 7. Lo stesso vale per i polinomi di variabili reali.

Cioè, se abbiamo un polinomio P (x), il factoring del polinomio consiste nel scrivere P (x) come prodotto di altri polinomi di grado inferiore al grado di P (x).

scomposizione

Diverse tecniche sono utilizzate per il fattore di un polinomio, tra cui i prodotti notabili e il calcolo delle radici del polinomio.

Se hai un polinomio di secondo grado P (x), e x1 e x2 sono le radici reali di P (x), allora P (x) può essere fattorizzato come "a (x-x1) (x-x2)", dove "a" è il coefficiente che accompagna il potere quadratico.

Come vengono calcolate le radici?

Se il polinomio è di grado 2, allora le radici possono essere calcolate con la formula chiamata "il risolutore".

Se il polinomio è di grado 3 o superiore, il metodo Ruffini viene solitamente utilizzato per calcolare le radici.

4 esercizi di factoring

Primo esercizio

Fattore del seguente polinomio: P (x) = x²-1.

soluzione

Non è sempre necessario usare il resolver. In questo esempio può essere usato un prodotto notevole.

Riscrivendo il polinomio come segue puoi vedere quale notevole prodotto usare: P (x) = x² - 1².

Usando il notevole prodotto 1, la differenza dei quadrati, abbiamo che il polinomio P (x) può essere fattorizzato come segue: P (x) = (x + 1) (x-1).

Questo indica anche che le radici di P (x) sono x1 = -1 e x2 = 1.

Secondo esercizio

Fattore del seguente polinomio: Q (x) = x³ - 8.

soluzione

C'è un prodotto notevole che dice quanto segue: a³-b³ = (a-b) (a² + ab + b²).

Sapendo questo, possiamo riscrivere il polinomio Q (x) come segue: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Ora, usando il notevole prodotto descritto, abbiamo che la fattorizzazione del polinomio Q (x) è Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Mancato fattore del polinomio quadratico che è emerso nel passaggio precedente. Ma se viene osservato, il notevole numero di prodotto 2 può aiutare; pertanto, la fattorizzazione finale di Q (x) è data da Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Questo dice che una radice di Q (x) è x1 = 2, e che x2 = x3 = 2 è l'altra radice di Q (x), che viene ripetuta.

Terzo esercizio

Fattore R (x) = x² - x - 6.

soluzione

Quando non riesci a rilevare un prodotto notevole o non hai l'esperienza necessaria per manipolare l'espressione, procedi con l'uso del resolver. I valori sono i seguenti a = 1, b = -1 ec = -6.

Quando li si sostituisce nei risultati della formula x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 ) / 2.

Da qui risultano due soluzioni che sono le seguenti:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Pertanto, il polinomio R (x) può essere fattorizzato come R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Quarto esercizio

Fattore H (x) = x³ - x² - 2x.

soluzione

In questo esercizio puoi iniziare prendendo il fattore comune x e ottieni quel H (x) = x (x²-x-2).

Pertanto, abbiamo solo bisogno di calcolare il polinomio quadratico. Usando di nuovo il risolvente, abbiamo che le radici sono:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Pertanto le radici del polinomio quadratico sono x1 = 1 e x2 = -2.

In conclusione, la fattorizzazione del polinomio H (x) è data da H (x) = x (x-1) (x + 2).

riferimenti

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