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Sfondo storico di geometria analitica
il Sfondo storico della geometria analitica risalgono al XVII secolo, quando Pierre de Fermat e René Descartes definirono la loro idea fondamentale. La sua invenzione ha seguito la modernizzazione dell'algebra e la notazione algebrica di François Viète.
Questo campo ha le sue basi nell'antica Grecia, specialmente nelle opere di Apollonio ed Euclide, che hanno avuto una grande influenza in quest'area della matematica.
L'idea essenziale alla base della geometria analitica è che una relazione tra due variabili, in modo tale che una sia una funzione dell'altro, definisce una curva.
Questa idea è stata sviluppata per la prima volta da Pierre de Fermat. Grazie a questo quadro essenziale, Isaac Newton e Gottfried Leibniz sono stati in grado di sviluppare il calcolo.
Il filosofo francese Descartes ha anche scoperto un approccio algebrico alla geometria, apparentemente da solo. Il lavoro di Cartesio sulla geometria appare nel suo famoso libro Discorso del metodo.
In questo libro si sottolinea che la bussola e le costruzioni geometriche dei bordi dritti implicano addizione, sottrazione, moltiplicazione e radici quadrate.
La geometria analitica rappresenta l'unione di due importanti tradizioni in matematica: la geometria come studio della forma e l'aritmetica e l'algebra, che hanno a che fare con quantità o numeri. Pertanto, la geometria analitica è lo studio del campo della geometria utilizzando i sistemi di coordinate.
storia
Antecedenti della geometria analitica
La relazione tra geometria e algebra si è evoluta nel corso della storia della matematica, sebbene la geometria abbia raggiunto un grado di maturità precedente.
Ad esempio, il matematico greco Euclid è stato in grado di organizzare molti risultati nel suo libro classico Gli elementi.
Ma fu l'antico Apollonio greco di Perga a predire lo sviluppo della geometria analitica nel suo libro conico. Definì una conica come l'intersezione tra un cono e un piano.
Usando i risultati di Euclide in triangoli simili e asciugatura circolare, ha trovato una relazione data dalle distanze da qualsiasi punto "P" di una conica a due linee perpendicolari, l'asse maggiore di una conica e la tangente in un punto finale dell'asse. Apollonio ha usato questa relazione per dedurre le proprietà fondamentali delle coniche.
Il successivo sviluppo dei sistemi di coordinate in matematica è emerso solo dopo che l'algebra era maturata grazie ai matematici islamici e indiani.
Fino a quando la geometria del Rinascimento fu usata per giustificare soluzioni per problemi algebrici, ma non c'era molto che l'algebra potesse contribuire alla geometria.
Questa situazione cambierebbe con l'adozione di una notazione conveniente per le relazioni algebriche e lo sviluppo del concetto di una funzione matematica, che era ora possibile.
XVI secolo
Alla fine del sedicesimo secolo il matematico francese François Viète introdusse la prima notazione algebrica sistematica, usando lettere per rappresentare quantità numeriche, sia conosciute che sconosciute.
Sviluppò anche potenti metodi generali per lavorare su espressioni algebriche e risolvere equazioni algebriche.
Grazie a questo, i matematici non erano completamente dipendenti da figure geometriche e intuizioni geometriche per risolvere i problemi.
Persino alcuni matematici hanno iniziato ad abbandonare il modo di pensare geometrico standard, in base al quale le variabili lineari di lunghezze e quadrati corrispondono alle aree, mentre il cubo corrisponde ai volumi.
I primi a compiere questo passo furono il filosofo e matematico René Descartes e l'avvocato e matematico Pierre de Fermat.
Fondazione della geometria analitica
Cartesio e Fermat fondarono indipendentemente la geometria analitica durante gli anni '30 del secolo scorso, adottando l'algebra di Viète per lo studio del locus.
Questi matematici capirono che l'algebra era uno strumento di grande potere nella geometria e inventò quella che ora è conosciuta come geometria analitica.
Un anticipo che hanno fatto è stato superare Viète usando le lettere per rappresentare le distanze che sono variabili invece che fisse.
Descartes ha utilizzato le equazioni per studiare le curve geometricamente definite e ha evidenziato la necessità di considerare le curve algebrico-grafiche generali delle equazioni polinomiali nei gradi "x" e "y".
Da parte sua, Fermat ha sottolineato che qualsiasi relazione tra le coordinate "x" e "e" determina una curva.
Usando queste idee, ha ristrutturato le affermazioni di Apollonio sui termini algebrici e ha restaurato alcune delle sue opere perdute.
Fermat ha indicato che qualsiasi equazione quadratica in "x" e "y" può essere inserita nella forma standard di una delle sezioni coniche. Nonostante questo, Fermat non ha mai pubblicato il suo lavoro sull'argomento.
Grazie ai suoi progressi, ciò che Archimede riuscì a risolvere solo con grande difficoltà e per casi isolati, Fermat e Descartes potevano risolverlo rapidamente e per un gran numero di curve (ora conosciute come curve algebriche).
Ma le sue idee ottennero solo un'accettazione generale attraverso gli sforzi di altri matematici nella seconda metà del diciassettesimo secolo.
I matematici Frans van Schooten, Florimond de Beaune e Johan de Witt hanno contribuito all'espansione dei lavori di Decartes e aggiunto importanti materiali aggiuntivi.
influenza
In Inghilterra John Wallis rese popolare la geometria analitica. Ha usato le equazioni per definire le coniche e derivarne le proprietà. Sebbene usasse liberamente le coordinate negative, Isaac Newton usò due assi obliqui per dividere l'aereo in quattro quadranti.
Newton e il tedesco Gottfried Leibniz rivoluzionarono la matematica alla fine del diciassettesimo secolo dimostrando indipendentemente il potere del calcolo.
Newton dimostrò l'importanza dei metodi analitici nella geometria e il suo ruolo nel calcolo, quando asserì che qualsiasi cubo (o qualsiasi curva algebrica di terzo grado) ha tre o quattro equazioni standard per assi di coordinate appropriate. Con l'aiuto dello stesso Newton, il matematico scozzese John Stirling lo testò nel 1717.
Geometria analitica di tre e più dimensioni
Sebbene sia Cartesio che Fermat suggerirono di usare tre coordinate per studiare le curve e le superfici nello spazio, la geometria analitica tridimensionale si sviluppò lentamente fino al 1730.
I matematici Eulero, Hermann e Clairaut hanno prodotto equazioni generali per cilindri, coni e superfici di rivoluzione.
Ad esempio, Eulero ha usato le equazioni per le traduzioni nello spazio per trasformare la superficie quadratica generale, in modo che i suoi assi principali coincidessero con i suoi assi coordinati.
Eulero, Joseph-Louis Lagrange e Gaspard Monge hanno reso la geometria analitica indipendente dalla geometria sintetica (non analitica).
riferimenti
- Lo sviluppo della geometria analitica (2001). Recuperato da encyclopedia.com
- Storia della geometria analitica (2015). Recuperato da maa.org
- Analisi (matematica). Recupero da britannica.com
- Geometria analitica Recupero da britannica.com
- Cartesio e nascita della geometria analitica. Recupero da sciencedirect.com