Qual è la somma dei quadrati di due numeri consecutivi?

Sapere qual è la somma dei quadrati di due numeri consecutivi, puoi trovare una formula, con la quale è sufficiente sostituire i numeri coinvolti per ottenere il risultato.

Questa formula può essere trovata in un modo generale, cioè, può essere utilizzata per qualsiasi coppia di numeri consecutivi.

Quando si dice "numeri consecutivi", uno sta implicitamente dicendo che entrambi i numeri sono numeri interi. E parlando di "i quadrati" si fa riferimento al quadrato ogni numero.

Ad esempio, se si considerano i numeri 1 e 2, i loro quadrati sono 1² = 1 e 2² = 4, quindi la somma dei quadrati è 1 + 4 = 5.

D'altra parte, se vengono presi i numeri 5 e 6, i loro quadrati sono 5² = 25 e 6² = 36, per cui la somma dei quadrati è 25 + 36 = 61.

Qual è la somma dei quadrati di due numeri consecutivi?

L'obiettivo ora è quello di generalizzare ciò che è stato fatto negli esempi precedenti. Per questo è necessario trovare un modo generale di scrivere un numero intero e il suo numero intero consecutivo.

Se si osservano due interi consecutivi, ad esempio 1 e 2, si può vedere che 2 può essere scritto come 1 + 1. Inoltre, se guardiamo i numeri 23 e 24, concludiamo che 24 può essere scritto come 23 + 1.

Per gli interi negativi questo comportamento può anche essere verificato. In effetti, se consideri -35 e -36, puoi vedere che -35 = -36 + 1.

Pertanto, se viene selezionato un numero intero "n", il numero intero consecutivo a "n" è "n + 1". Quindi, una relazione tra due numeri interi consecutivi è già stata stabilita.

Qual è la somma dei quadrati?

Dati due numeri interi consecutivi "n" e "n + 1", i loro quadrati sono "n²" e "(n + 1) ²". Utilizzando le proprietà di prodotti degni di nota, questo ultimo termine può essere scritto come segue:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Infine, la somma dei quadrati dei due numeri consecutivi è data dall'espressione:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Se la formula precedente è dettagliata, si può vedere che è sufficiente conoscere il più piccolo intero "n" per sapere quale sia la somma dei quadrati, cioè, è sufficiente usare il più piccolo dei due numeri interi.

Un'altra prospettiva della formula ottenuta è la seguente: i numeri scelti vengono moltiplicati, quindi il risultato ottenuto viene moltiplicato per 2 e infine viene aggiunto 1.

D'altra parte, il primo summe sulla destra è un numero pari, e quando aggiungi 1 il risultato sarà dispari. Questo dice che il risultato dell'aggiunta dei quadrati di due numeri consecutivi sarà sempre un numero dispari.

Si può anche notare che poiché vengono aggiunti due numeri quadrati, questo risultato sarà sempre positivo.

Esempi

1.- Considera i numeri interi 1 e 2. Il numero più piccolo è 1. Usando la formula sopra, possiamo concludere che la somma dei quadrati è: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Che è d'accordo con i conti fatti all'inizio.

2.- Se vengono presi gli interi 5 e 6, allora la somma dei quadrati sarà 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, che coincide anche con il risultato ottenuto all'inizio.

3.- Se vengono scelti gli interi -10 e -9, la somma dei loro quadrati è: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Lasciate gli interi in questa opportunità -1 e 0, quindi la somma dei loro quadrati è data da 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

riferimenti

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