Applicazioni di decomposizione additiva, partizioni, grafica

il decomposizione additiva di un numero intero positivo deve esprimerlo come somma di due o più numeri interi positivi. Quindi, abbiamo che il numero 5 può essere espresso come 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 o 5 = 1 + 2 + 2. Ognuno di questi modi di scrivere il numero 5 è ciò che chiamiamo decomposizione additiva.

Se prestiamo attenzione, possiamo vedere che le espressioni 5 = 2 + 3 e 5 = 3 + 2 rappresentano la stessa composizione; entrambi hanno gli stessi numeri Tuttavia, solo per comodità, ognuno degli addendi è solitamente scritto seguendo il criterio dal meno al più grande.

indice

• 1 decomposizione additiva
• 2 decomposizione canonica additiva
• 3 applicazioni
  • 3.1 Teorema di esempio
• 4 partizioni
  • 4.1 Definizione
• 5 grafica
• 6 riferimenti

Decomposizione additiva

Come altro esempio possiamo prendere il numero 27, che possiamo esprimere come:

27=  7+10+10

27=  9+9+9

27=   3+6+9+9

27= 9+18

La decomposizione additiva è uno strumento molto utile che ci consente di rafforzare la nostra conoscenza dei sistemi di numerazione.

Decomposizione canonica additiva

Quando abbiamo numeri di più di due cifre, un modo particolare di scomporle è nei multipli di 10, 100, 1000, 10 000, ecc., Che lo compongono. Questo modo di scrivere qualsiasi numero è chiamato decomposizione canonica additiva. Ad esempio, il numero 1456 può essere suddiviso come segue:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Se abbiamo il numero 20 846 295, la sua decomposizione addizionale canonica sarà:

20 846 295= 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Grazie a questa decomposizione, possiamo vedere che il valore di una data cifra è dato dalla posizione che occupa. Prendi i numeri 24 e 42 come esempio:

24= 20 + 4

42= 40 +2

Qui possiamo osservare che in 24 il 2 ha un valore di 20 unità e il 4 un valore di 4 unità; invece, in 42 il 4 ha un valore di 40 unità e il 2 di due unità. Pertanto, sebbene entrambi i numeri utilizzino le stesse cifre, i loro valori sono totalmente diversi dalla posizione che occupano.

applicazioni

Una delle applicazioni che possiamo dare alla decomposizione additiva è in certi tipi di dimostrazioni, in cui è molto utile vedere un numero intero positivo come la somma di altri.

Teorema di esempio

Prendiamo ad esempio il seguente teorema con le sue rispettive dimostrazioni.

- Sia Z un numero intero a 4 cifre, quindi Z è divisibile per 5 se il suo numero corrispondente alle unità è zero o cinque.

spettacolo

Ricorda cos'è la divisibilità. Se abbiamo interi "a" e "b", diciamo che "a" divide "b" se esiste un intero "c" tale che b = a * c.

Una delle proprietà di divisibilità ci dice che se "a" e "b" sono divisibili per "c", allora la sottrazione "a-b" è anche divisibile per "c".

Sia Z un numero intero a 4 cifre; quindi, possiamo scrivere Z come Z = ABCD.

Usando la decomposizione degli additivi canonici abbiamo che:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

È chiaro che A * 1000 + B * 100 + C * 10 è divisibile per 5. Per questo abbiamo che Z è divisibile per 5 se Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) è divisibile per 5.

Ma Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D e D è un numero di una singola figura, quindi l'unico modo in cui è divisibile per 5 è che è 0 o 5.

Pertanto, Z è divisibile per 5 se D = 0 o D = 5.

Nota che se Z ha n cifre la dimostrazione è esattamente la stessa, cambia solo che ora scriveremmo Z = A₁la₂... A_n e l'obiettivo sarebbe dimostrare che A_n È zero o cinque.

partizioni

Diciamo che una partizione di un intero positivo è un modo in cui possiamo scrivere un numero come somma di interi positivi.

La differenza tra una decomposizione additiva e una partizione è quella, mentre nel primo si cerca che almeno possa essere scomposto in due o più addendi, nella partizione non esiste tale restrizione.

Quindi, abbiamo il seguente:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+2+2

Quanto sopra sono partizioni di 5.

Cioè, abbiamo che tutta la decomposizione additiva è una partizione, ma non tutte le partizioni sono necessariamente una decomposizione additiva.

Nella teoria dei numeri, il teorema fondamentale dell'aritmetica garantisce che ogni numero intero può essere scritto in modo univoco come un prodotto di numeri primi.

Quando si studiano le partizioni, l'obiettivo è determinare in quanti modi è possibile scrivere un intero positivo come somma di altri numeri interi. Pertanto definiamo la funzione di partizione come presentata di seguito.

definizione

La funzione di partizione p (n) è definita come il numero di modi in cui un intero positivo n può essere scritto come somma di interi positivi.

Tornando all'esempio di 5, dobbiamo:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+1+3

5= 1+2+2

5= 1+1+1+2

5= 1+1+1+1+1

In tal modo, p (5) = 7.

grafico

Sia le partizioni che le decomposizioni additive di un numero n possono essere rappresentate geometricamente. Supponiamo di avere una decomposizione additiva di n. In questa scomposizione gli addendi possono essere disposti in modo che i membri della somma siano ordinati dal più basso al più alto. Quindi, vale la pena:

n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_r con

a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_r.

Possiamo tracciare questa scomposizione nel modo seguente: nella prima riga contrassegniamo il simbolo₁-punti, poi nel prossimo segniamo₂-punti, e così via fino a quando non si arriva a_r.

Prendi il numero 23 e la seguente decomposizione come esempio:

23= 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Ordiniamo questa decomposizione e abbiamo:

23= 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Il suo grafico corrispondente sarebbe:

Allo stesso modo, se leggiamo detto grafico verticalmente anziché orizzontalmente, possiamo ottenere una scomposizione che potrebbe essere diversa da quella precedente. Nell'esempio di 23 mette in evidenza quanto segue:

Quindi dobbiamo 23 possiamo anche scriverlo come:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

riferimenti

1. G.H. Hardy e E. M. Wright. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Oxford. Clarendon Press.
2. Navarro C. Enciclopedia didattica 6. Editoriale Santillana, S.A.
3. Navarro C.Collegamento con la matematica 6. Editoriale Santillana, S.A.
4. Niven & Zuckerman. Introduzione alla teoria dei numeri. Limusa.
5. Valutazione VV.AA Criterio di area matematica: un modello per l'istruzione primaria. Wolters Kluwer Education.
6. Enciclopedia didattica 6.