Equazioni polinomiali (con esercizi risolti)

il equazioni polinomiali sono una dichiarazione che solleva l'uguaglianza di due espressioni o membri, in cui almeno uno dei termini che compongono ciascun lato dell'uguaglianza sono polinomi P (x). Queste equazioni sono denominate in base al grado delle loro variabili.

In generale, un'equazione è un'asserzione che stabilisce l'uguaglianza di due espressioni, in cui almeno una di queste contiene quantità sconosciute, che sono chiamate variabili o incognite. Sebbene esistano molti tipi di equazioni, sono generalmente classificati in due tipi: algebrico e trascendentale.

Le equazioni polinomiali contengono solo espressioni algebriche, che possono avere una o più incognite coinvolte nell'equazione. Secondo l'esponente (grado) stanno avendo possono essere classificati in primo grado (lineare), secondo grado (quadratica), terzo grado (cubico), quarta (quartica) maggiore o uguale a cinque e grado irrazionale.

indice

• 1 caratteristiche
• 2 tipi
  • 2.1 Primo grado
  • 2.2 Secondo grado
  • 2.3 Resolvent
  • 2.4 Voto superiore
• 3 esercizi risolti
  • 3.1 Primo esercizio
  • 3.2 Secondo esercizio
• 4 riferimenti

lineamenti

Le equazioni polinomiali sono espressioni formate da un'uguaglianza tra due polinomi; Cioè mediante somme finite di moltiplicazioni tra valori sono sconosciute (variabili) e fissati numeri (coefficienti), in cui le variabili possono avere esponenti, e il suo valore può essere un numero intero positivo compreso lo zero.

Gli esponenti determinano il grado o il tipo di equazione. Quel termine dell'espressione che ha l'esponente del valore più alto rappresenterà il grado assoluto del polinomio.

Le equazioni polinomiali sono anche conosciute come algebriche, i loro coefficienti possono essere numeri reali o complessi e le variabili sono numeri sconosciuti rappresentati da una lettera, come "x".

Se si sostituisce un valore per la variabile "x" in P (x) il risultato è zero (0), allora si dice che questo valore soddisfa l'equazione (si tratta di una soluzione), e di solito è chiamato radice del polinomio.

Quando viene sviluppata un'equazione polinomiale, vogliamo trovare tutte le radici o soluzioni.

tipo

Esistono diversi tipi di equazioni polinomiali, che sono differenziate in base al numero di variabili e anche in base al loro grado di esponente.

Così, equazioni polinomiali, dove il primo termine è un polinomio che ha una incognita, mentre il loro grado può essere qualsiasi numero naturale (n) e il secondo termine è zero, può essere espresso come segue:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

dove:

- a_n, a_n-1 e a₀, sono coefficienti reali (numeri).

- a_n È diverso da zero.

- L'esponente n è un numero intero positivo che rappresenta il grado dell'equazione.

- x è la variabile o lo sconosciuto che deve essere ricercato.

Il grado assoluto o maggiore di un'equazione polinomiale è quell'esponente di maggior valore tra tutti quelli che formano il polinomio; in questo modo, le equazioni sono classificate come:

Primo grado

equazioni polinomiali di primo grado, noto anche come equazioni lineari, sono quelli in cui il grado (il più grande esponente) è uguale a 1, il polinomio è della forma P (x) = 0; ed è composto da un termine lineare e un termine indipendente. È scritto come segue:

ax + b = 0.

dove:

- aeb sono numeri reali e un ≠ 0.

- ax è il termine lineare.

- b è il termine indipendente.

Ad esempio, l'equazione 13x - 18 = 4x.

Per risolvere equazioni lineari tutti i termini che contengono la x sconosciuta devono essere passati a un lato dell'uguaglianza, e quelli che non hanno sono spostati dall'altra parte, per eliminarlo e ottenere una soluzione:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

In questo modo, l'equazione data ha una singola soluzione o radice, che è x = 2.

Seconda elementare

equazioni polinomiali di secondo grado, noto anche come equazioni quadratiche, sono quelli in cui il grado (il più grande esponente) è uguale a 2, il polinomio è della forma P (x) = 0, ed è composta da un termine quadratico , uno lineare e uno indipendente. È espresso come segue:

ascia² + bx + c = 0

dove:

- a, b e c sono numeri reali e a ≠ 0.

- ascia² è il termine quadratico e "a" è il coefficiente del termine quadratico.

- bx è il termine lineare e "b" è il coefficiente del termine lineare.

- c è il termine indipendente.

resolvente

Generalmente, la soluzione a questo tipo di equazioni è data dalla cancellazione di x dall'equazione, e viene lasciata nel modo seguente, che è chiamato risolutore:

Lì, (b² - 4ac) è chiamato il discriminante dell'equazione e questa espressione determina il numero di soluzioni che l'equazione può avere:

- Sì (b² - 4ac) = 0, l'equazione avrà una singola soluzione che è doppia; cioè, avrai due soluzioni uguali.

- Sì (b² - 4ac)> 0, l'equazione avrà due diverse soluzioni reali.

- Sì (b² - 4ac) <0, l'equazione non ha soluzione (avrà due diverse soluzioni complesse).

Ad esempio, hai l'equazione 4x² + 10x - 6 = 0, per risolverlo, identificare prima i termini a, b e c, quindi sostituirlo nella formula:

a = 4

b = 10

c = -6.

Ci sono casi in cui le equazioni polinomiali di secondo grado non hanno i tre termini, ed è per questo che vengono risolti in modo diverso:

- Nel caso in cui le equazioni quadratiche non abbiano il termine lineare (cioè b = 0), l'equazione sarà espressa come ax² + c = 0. Per risolverlo, viene cancellato x² e le radici quadrate sono applicate in ciascun membro, ricordando che i due possibili segni che l'ignoto può avere devono essere considerati:

ascia² + c = 0

x² = - c ÷ a

Ad esempio, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Quando l'equazione quadratica non ha un termine indipendente (cioè, c = 0), l'equazione sarà espressa come ax² + bx = 0. Per risolverlo, dobbiamo estrarre il fattore comune della x sconosciuta nel primo membro; poiché l'equazione è uguale a zero, è vero che almeno uno dei fattori sarà uguale a 0:

ascia² + bx = 0

x (ax + b) = 0.

In questo modo, devi:

x = 0

x = -b ÷ a.

Ad esempio: hai l'equazione 5x² + 30x = 0. Primo fattore:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Vengono generati due fattori x e (5x + 30). Si considera che uno di questi sarà uguale a zero e l'altra soluzione sarà data:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Voto più alto

Le equazioni polinomiali di grado maggiore sono quelle che vanno dal terzo grado in poi, che possono essere espresse o risolte con l'equazione polinomiale generale per qualsiasi grado:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Questo è usato perché un'equazione con un grado maggiore di due è il risultato della fattorizzazione di un polinomio; cioè, è espresso come la moltiplicazione dei polinomi di grado uno o più, ma senza radici reali.

La soluzione di questo tipo di equazioni è diretta, perché la moltiplicazione di due fattori sarà uguale a zero se uno qualsiasi dei fattori è nullo (0); pertanto, ciascuna delle equazioni polinomiali trovate deve essere risolta, eguagliando ciascuno dei suoi fattori a zero.

Ad esempio, hai l'equazione di terzo grado (cubico) x³ + x² + 4x + 4 = 0. Per risolverlo, è necessario attenersi alla seguente procedura:

- I termini sono raggruppati:

x³ + x² + 4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- I membri sono suddivisi per ottenere il fattore comune dell'ignoto:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- In questo modo si ottengono due fattori, che devono essere uguali a zero:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Si può vedere che il fattore (x² + 4) = 0 non avrà una soluzione reale, mentre il fattore (x + 1) = 0 sì. Pertanto, la soluzione è:

(x + 1) = 0

x = -1

Esercizi risolti

Risolvi le seguenti equazioni:

Primo esercizio

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

soluzione

In questo caso l'equazione è espressa come la moltiplicazione dei polinomi; cioè, è fattorizzato. Per risolverlo, ogni fattore deve essere uguale a zero:

- 2x² + 5 = 0, non ha soluzione.

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Pertanto, l'equazione data ha due soluzioni: x = 3 e x = -1.

Secondo esercizio

x⁴ - 36 = 0.

soluzione

È stato dato un polinomio, che può essere riscritto come una differenza di quadrati per arrivare a una soluzione più veloce. Pertanto, l'equazione rimane:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Per trovare la soluzione delle equazioni, entrambi i fattori sono uguali a zero:

(x² + 6) = 0, non ha soluzione.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Pertanto, l'equazione iniziale ha due soluzioni:

x = √6.

x = - √6.

riferimenti

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