Metodi ed esempi di fattorizzazione

il scomposizione è un metodo attraverso il quale un polinomio è espresso sotto forma di moltiplicazione di fattori, che possono essere numeri, lettere o entrambi. Raggruppare i fattori che sono comuni ai termini sono raggruppati, e in questo modo il polinomio è scomposto in diversi polinomi.

Pertanto, quando i fattori si moltiplicano, il risultato è il polinomio originale. La fattorizzazione è un metodo molto utile quando si hanno espressioni algebriche, perché può essere convertito nella moltiplicazione di diversi termini semplici; per esempio: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b)

Ci sono casi in cui un polinomio non può essere fattorizzato perché non esiste un fattore comune tra i suoi termini; quindi, queste espressioni algebriche sono divisibili solo tra loro e per 1. Ad esempio: x + y + z.

In un'espressione algebrica il fattore comune è il massimo comun divisore dei termini che lo compongono.

indice

• 1 metodi di factoring
  • 1.1 Factoring per fattore comune
  • 1.2 Esempio 1
  • 1.3 Esempio 2
  • 1.4 Factoring per raggruppamento
  • 1.5 Esempio 1
  • 1.6 Factoring mediante ispezione
  • 1.7 Esempio 1
  • 1.8 Esempio 2
  • 1.9 Factoring con prodotti notevoli
  • 1.10 Esempio 1
  • 1.11 Esempio 2
  • 1.12 Esempio 3
  • 1.13 Factoring con la regola di Ruffini
  • 1.14 Esempio 1
• 2 riferimenti

Metodi di factoring

Esistono diversi metodi di factoring, che vengono applicati a seconda del caso. Alcuni di questi sono i seguenti:

Factoring dal fattore comune

In questo metodo, vengono identificati i fattori che sono comuni; cioè, quelli che si ripetono nei termini dell'espressione. Quindi viene applicata la proprietà distributiva, viene rimosso il massimo comun divisore e completata la fattorizzazione.

In altre parole, viene identificato il fattore di espressione comune e ogni termine è diviso tra esso; i termini risultanti saranno moltiplicati per il più grande fattore comune per esprimere la fattorizzazione.

Esempio 1

Fattore (b²x) + (b²y).

soluzione

Innanzitutto c'è il fattore comune di ciascun termine, che in questo caso è b²e quindi dividere i termini tra il fattore comune come segue:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

La fattorizzazione è espressa moltiplicando il fattore comune per i termini risultanti:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y)

Esempio 2

Factorize (2a)²B³) + (3ab²).

soluzione

In questo caso abbiamo due fattori che si ripetono in ogni termine che sono "a" e "b", e che sono elevati a un potere. Per tenerli in considerazione, i due termini vengono prima suddivisi nella loro forma lunga:

2_*a_*a_*B_*B_*b + 3a_*B_*B

Si può osservare che il fattore "a" è ripetuto una sola volta nel secondo termine e il fattore "b" è ripetuto due volte in esso; quindi nel primo termine c'è solo 2, un fattore "a" e un "b"; mentre nel secondo termine rimane solo 3.

Pertanto, scriviamo i tempi in cui "a" e "b" sono ripetuti e moltiplicati per i fattori che sono rimasti da ciascun termine, come mostrato nell'immagine:

Fattorizzazione per raggruppamento

Dato che non tutti i casi il massimo comune divisore di un polinomio è chiaramente espresso, è necessario fare altri passi per poter riscrivere il polinomio e quindi il fattore.

Uno di questi passaggi consiste nel raggruppare i termini del polinomio in più gruppi e quindi utilizzare il metodo del fattore comune.

Esempio 1

Fattore ac + bc + ad + bd.

soluzione

Ci sono 4 fattori in cui due sono comuni: nel primo termine è "c" e nel secondo è "d". In questo modo i due termini sono raggruppati e separati:

(ac + bc) + (annuncio + bd).

Ora è possibile applicare il metodo del fattore comune, dividendo ciascun termine per il suo fattore comune e quindi moltiplicando quel fattore comune per i termini risultanti, in questo modo:

(ac + bc) / c = a + b

(annuncio + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Ora ottieni un binomio comune a entrambi i termini. Per fattore è moltiplicato per i fattori rimanenti; In questo modo devi:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b)

Fattorizzazione mediante ispezione

Questo metodo è usato per calcolare i polinomi quadratici, chiamati anche trinomiali; cioè, quelli che sono strutturati come un'ascia² ± bx + c, dove il valore di "a" è diverso da 1. Questo metodo viene anche utilizzato quando il trinomio ha la forma x² ± bx + c e il valore di "a" = 1.

Esempio 1

Fattore x² + 5x + 6

soluzione

Hai un trinomio quadratico della forma x² ± bx + c. Per calcolarlo prima devi trovare due numeri che, quando moltiplicati, danno come risultato il valore di "c" (cioè, 6) e che la sua somma è uguale al coefficiente "b", che è 5. Questi numeri sono 2 e 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

In questo modo, l'espressione è semplificata in questo modo:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Ogni termine è fattorizzato:

- Per (x² + 2x) il termine comune viene estratto: x (x + 2)

- Per (3x + 6) = 3 (x + 2)

Quindi, l'espressione rimane:

x (x +2) + 3 (x +2).

Dato che hai un binomio comune, per ridurre l'espressione viene moltiplicato per i termini rimanenti e devi:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3)

Esempio 2

Fattore 4a² + 12a + 9 = 0.

soluzione

Hai un trinomio quadratico dell'ascia di forma² ± bx + c e fattorizzarlo moltiplicare tutte le espressioni per il coefficiente di x²; in questo caso, 4.

il 4 °² + 12a +9 = 0

il 4 °² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Ora dobbiamo trovare due numeri che, quando moltiplicati insieme, danno come risultato il valore di "c" (che è 36) e che quando sommati insieme danno come risultato il coefficiente del termine "a", che è 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

In questo modo l'espressione viene riscritta, tenendo conto di ciò² a² = 4a _* 4A. Pertanto, viene applicata la proprietà distributiva per ciascun termine:

(4a + 6) _* (4a + 6)

Infine, l'espressione è divisa per il coefficiente di²; cioè 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

L'espressione è la seguente:

il 4 °² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3)

Factoring con prodotti degni di nota

Ci sono casi in cui, per tenere pienamente conto dei polinomi con i metodi precedenti, diventa un processo molto lungo.

Ecco perché un'espressione può essere sviluppata con le formule dei prodotti notevoli e quindi il processo diventa più semplice. Tra i prodotti più importanti sono usati:

- Differenza di due quadrati: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Quadrato perfetto di una somma: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Quadrato perfetto di una differenza: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Differenza di due cubetti: a³ - b³ = (a-b)_*(un² + ab + b²)

- Somma di due cubetti: a³ - b³ = (a + b) _* (un² - ab + b²)

Esempio 1

Fattore (5² - x²)

soluzione

In questo caso c'è una differenza di due quadrati; quindi, si applica la formula del notevole prodotto:

(un² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Esempio 2

Fattore 16x² + 40x + 25²

soluzione

In questo caso abbiamo un quadrato perfetto di una somma, perché possiamo identificare due termini al quadrato, e il termine rimanente è il risultato di moltiplicare due volte la radice quadrata del primo termine, per la radice quadrata del secondo termine.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Per fattore, vengono calcolate solo le radici quadrate del primo e del terzo termine:

√ (16x²) = 4x

√(25²) = 5.

Quindi i due termini risultanti sono separati dal segno dell'operazione e l'intero polinomio è quadrato:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Esempio 3

Fattore 27a³ - b³

soluzione

L'espressione rappresenta una sottrazione in cui due fattori vengono generati nel cubo. Per calcolarli, viene applicata la formula del prodotto notevole della differenza cubo, che è:

a³ - b³ = (a-b)_*(un² + ab + b²)

Quindi, per fattorizzare, la radice cubica di ciascun termine del binomio viene estratta e moltiplicata per il quadrato del primo termine, più il prodotto del primo del secondo termine, più il secondo termine del quadrato.

27³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²) ]

27³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Factoring con la regola di Ruffini

Questo metodo è usato quando si ha un polinomio di grado maggiore di due, al fine di semplificare l'espressione a diversi polinomi di grado minore.

Esempio 1

Fattore Q (x) = x⁴ - 9 volte² + 4x + 12

soluzione

Prima cerca i numeri che sono divisori di 12, che è il termine indipendente; questi sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 e ± 12.

Quindi la x viene sostituita da questi valori, dal più basso al più alto, e quindi viene determinato con quale dei valori la divisione sarà esatta; cioè, il resto deve essere 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9(-1)² + 4(-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9(1)² + 4(1) + 12 = 8  ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9(2)² + 4(2) + 12 = 0.

E così via per ogni divisore. In questo caso, i fattori trovati sono per x = -1 e x = 2.

Ora viene applicato il metodo Ruffini, in base al quale i coefficienti dell'espressione verranno divisi tra i fattori trovati in modo che la divisione sia esatta. I termini polinomiali sono ordinati dall'esponente dal più alto al più basso; nel caso in cui manchi un termine con il grado che segue nella sequenza, viene posizionato uno 0 al suo posto.

I coefficienti si trovano in uno schema come mostrato nell'immagine seguente.

Il primo coefficiente viene abbassato e moltiplicato per il divisore. In questo caso, il primo divisore è -1 e il risultato viene inserito nella colonna successiva. Quindi il valore del coefficiente viene aggiunto verticalmente con quel risultato che è stato ottenuto e il risultato è posto sotto. In questo modo, il processo viene ripetuto fino all'ultima colonna.

Quindi la stessa procedura viene ripetuta di nuovo, ma con il secondo divisore (che è 2) perché l'espressione può ancora essere semplificata.

Quindi, per ogni radice ottenuta, il polinomio avrà un termine (x - a), dove "a" è il valore della radice:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

D'altra parte, questi termini devono essere moltiplicati per il resto della regola di Ruffini 1: 1 e -6, che sono fattori che rappresentano un grado. In questo modo l'espressione che si forma è: (x² + x - 6).

Ottenere il risultato della fattorizzazione del polinomio con il metodo Ruffini è:

x⁴ - 9 volte² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Per finire, il polinomio di grado 2 che appare nell'espressione precedente può essere riscritto come (x + 3) (x-2). Pertanto, la fattorizzazione finale è:

x⁴ - 9 volte² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

riferimenti

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Come insegnare ai bambini il factoring al polinomio.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Matematica di base con applicazioni.
4. Roelse, P. L. (1997). Metodi lineari per la fattorizzazione polinomiale su campi finiti: teoria e implementazioni. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Anelli e fattorizzazione.