Metodo di interpolazione lineare, esercizi risolti

il interpolazione lineare è un metodo che origina dall'interpolazione generale di Newton e consente di determinare per approssimazione un valore sconosciuto compreso tra due numeri dati; cioè, c'è un valore intermedio. Si applica anche alle funzioni approssimative, dove i valori f_(A) e f_(B) sono conosciuti e tu vuoi conoscere l'intermedio di f_(X).

Esistono diversi tipi di interpolazione, come lineare, quadratico, cubico e di gradi maggiori, la più semplice delle quali è l'approssimazione lineare. Il prezzo che deve essere pagato con l'interpolazione lineare è che il risultato non sarà accurato come con approssimazioni per funzioni di gradi più alti.

indice

• 1 Definizione
• 2 metodo
• 3 esercizi risolti
  • 3.1 Esercizio 1
  • 3.2 Esercizio 2
• 4 riferimenti

definizione

L'interpolazione lineare è un processo che consente di dedurre un valore tra due valori ben definiti, che possono essere in una tabella o in un grafico lineare.

Ad esempio, se è noto che 3 litri di Lechen valore di $ 4 e $ 5 litri del valore di 7, ma vuole sapere qual è il valore di 4 litri di latte, viene interpolato per determinare il valore intermedio.

metodo

Per stimare un valore intermedio di una funzione la funzione f è approssimata_(X) per mezzo di una retta r_(X), il che significa che la funzione varia linearmente con "x" per un tratto "x = a" e "x = b"; cioè, per un valore "x" nell'intervallo (x₀, x₁) e (e₀e₁), il valore di "y" è dato dalla linea tra i punti ed è espresso dalla seguente relazione:

(e - e₀) ÷ (x - x₀) = (e₁ - e₀) ÷ (x₁ - x₀)

Affinché un'interpolazione sia lineare, è necessario che il polinomio di interpolazione sia di grado uno (n = 1), in modo che si adatti ai valori di x₀ e x_1.

interpolazione lineare si basa sulla somiglianza dei triangoli, in modo tale che, geometricamente derivare l'espressione di cui sopra, si può ottenere il valore di "y", che rappresenta il valore sconosciuto per "x".

Un'estrapolazione è quella in cui si assume che l'intervallo da interpolare sia x₀ ˂ x ˂ x_1, se è diverso da questo intervallo. Partendo dalla equazione della linea, cioè: y = ax + b, dove "a" è un coefficiente angolare e "b" è un coefficiente lineare, come mostrato nella figura due triangoli sono formati con ipotenusa dritto. Per la somiglianza dei triangoli, devi:

In questo modo devi:

a = tan Ɵ = (lato opposto₁ ÷ gamba adiacente₁) = (lato opposto₂ ÷ gamba adiacente₂)

Espresso in modo diverso, è:

(e - e₀) ÷ (x - x₀) = (e₁ - e₀) ÷ (x₁ - x₀)

Cancellando "e" delle espressioni, hai:

(e - e₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (e₁ - e₀)

(e - e₀) = (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Quindi, otteniamo l'equazione generale per l'interpolazione lineare:

y = y_{0 +} (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

In generale, l'interpolazione lineare dà un piccolo errore sul valore reale della funzione vera, sebbene l'errore sia minimo se si sceglie intuitivamente un numero vicino a quello che si vuole trovare.

Questo errore si verifica quando si tenta di approssimare il valore di una curva con una linea retta; per questi casi la dimensione dell'intervallo deve essere ridotta per rendere l'approccio più preciso.

Per ottenere risultati migliori in merito all'approccio, è consigliabile utilizzare le funzioni di grado 2, 3 o anche di grado superiore per eseguire l'interpolazione. Per questi casi il teorema di Taylor è uno strumento molto utile.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Il numero di batteri per unità di volume esistente in un'incubazione dopo x ore è presentato nella seguente tabella. Vuoi sapere qual è il volume di batteri per il tempo di 3,5 ore.

soluzione

La tabella di riferimento non stabilisce un valore che indica la quantità di batteri per un tempo di 3,5 ore ma ha valori superiori e inferiori corrispondenti a un tempo di 3 e 4 ore, rispettivamente. In questo modo:

x₀ = 3 e₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 e₁ = 135

Ora, l'equazione matematica viene applicata per trovare il valore interpolato, che è il seguente:

y = y_{0 +} (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Quindi i valori corrispondenti vengono sostituiti:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113

Pertanto, si ottiene che per un tempo di 3,5 ore, il numero di batteri è 113, che rappresenta un livello intermedio tra il volume di batteri esistenti a 3 e 4 ore.

Esercizio 2

Luis ha una fabbrica di gelati e vuole fare uno studio per determinare le entrate che ha avuto in agosto dalle spese sostenute. Il manager dell'azienda fa un grafico che esprime quella relazione, ma Luis vuole sapere:

Quali sono le entrate di agosto, se è stata effettuata una spesa di $ 55.000?

soluzione

Viene fornito un grafico con i valori delle entrate e delle spese. Luis vuole sapere quali sono le entrate di agosto se la fabbrica ha una spesa di $ 55.000.Questo valore non si riflette direttamente nel grafico, ma i valori più alti e più bassi di questo sono disponibili.

Prima viene creato un tavolo in cui mettere in relazione i valori con facilità:

Ora, la formula di interpolazione viene utilizzata per determinare il valore di y

y = y_{0 +} (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Quindi i valori corrispondenti vengono sostituiti:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) _* [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = $ 68,936.

Se una spesa di $ 55.000 è stata fatta in agosto, il reddito è stato di $ 68.936.

riferimenti

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Argomenti nella teoria dei gruppi geometrici. Università di Chicago Press.
3. Hazewinkel, M. (2001). Interpolazione lineare ", Encyclopedia of Mathematics.
4. , J. M. (1998). Elementi di metodi numerici per l'ingegneria. UASLP.
5. , E. (2002). Una cronologia dell'interpolazione: dall'astronomia antica al segnale moderno e all'elaborazione delle immagini. Atti dell'IEEE.
6. numerico, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.