Leggi degli esponenti (con esempi ed esercizi risolti)

il leggi di esponenti sono quelli che si applicano a quel numero che indica quante volte un numero di base deve essere moltiplicato per se stesso. Gli esponenti sono anche noti come poteri. Il potenziamento è un'operazione matematica formata da una base (a), dall'esponente (m) e dalla potenza (b), che è il risultato dell'operazione.

Gli esponenti sono generalmente usati quando vengono usate quantità molto grandi, perché queste non sono altro che abbreviazioni che rappresentano la moltiplicazione di quello stesso numero un certo numero di volte. Gli esponenti possono essere sia positivi che negativi.

indice

• 1 Spiegazione delle leggi degli esponenti
  • 1.1 Prima legge: potenza esponenziale pari a 1
  • 1.2 Seconda legge: potenza esponenziale pari a 0
  • 1.3. Terza legge: esponente negativo
  • 1.4 Quarta legge: moltiplicazione di poteri con base uguale
  • 1.5 Quinta legge: divisione dei poteri con base equa
  • 1.6 Sesta legge: moltiplicazione di poteri con una base diversa
  • 1.7 Settima legge: divisione dei poteri con una base diversa
  • 1.8 Ottava legge: potere di un potere
  • 1.9 Nona legge: esponente frazionale
• 2 esercizi risolti
  • 2.1 Esercizio 1
  • 2.2 Esercizio 2
• 3 riferimenti

Spiegazione delle leggi degli esponenti

Come detto sopra, gli esponenti sono una forma abbreviata che rappresenta la moltiplicazione dei numeri di per sé più volte, in cui l'esponente è solo correlato al numero sulla sinistra. Ad esempio:

2³ = 2*2*2 = 8

In tal caso il numero 2 è la base della potenza, che sarà moltiplicata per 3 volte come indicato dall'esponente, situato nell'angolo in alto a destra della base. Esistono diversi modi di leggere l'espressione: 2 elevato a 3 o anche 2 elevato al cubo.

Gli esponenti indicano anche il numero di volte che possono essere divisi, e per differenziare questa operazione dalla moltiplicazione l'esponente porta il segno meno (-) di fronte ad esso (è negativo), il che significa che l'esponente è nel denominatore di un frazione. Ad esempio:

2^{- 4} = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Questo non dovrebbe essere confuso con il caso in cui la base è negativa, poiché dipenderà dal fatto che l'esponente sia pari o dispari per determinare se la potenza sarà positiva o negativa. Quindi devi:

- Se l'esponente è pari, la potenza sarà positiva. Ad esempio:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Se l'esponente è dispari, la potenza sarà negativa. Ad esempio:

(-2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

C'è un caso speciale in cui se l'esponente è uguale a 0, la potenza è uguale a 1. C'è anche la possibilità che la base sia 0; in tal caso, a seconda dell'esposizione, il potere sarà indeterminato o meno.

Per eseguire operazioni matematiche con gli esponenti, è necessario seguire diverse regole o regole che rendono più facile trovare la soluzione per queste operazioni.

Prima legge: potenza esponenziale pari a 1

Quando l'esponente è 1, il risultato sarà lo stesso valore della base: a¹ = a.

Esempi

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Seconda legge: potenza esponenziale pari a 0

Quando l'esponente è 0, se la base è diversa da zero, il risultato sarà :, a⁰ = 1.

Esempi

1⁰ = 1.

323⁰=1.

1095⁰ = 1.

Terza legge: esponente negativo

Dato che exponte è negativo, il risultato sarà una frazione, dove il potere sarà il denominatore. Ad esempio, se m è positivo, allora a^-m= 1 / a^m.

Esempi

- 3^-1 = 1/ 3.

- 6^-2 = 1 / 6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/ 8³ = 1/512.

Quarta legge: moltiplicazione di poteri con base uguale

Per moltiplicare le potenze in cui le basi sono uguali e diverse da 0, la base viene mantenuta e gli esponenti sono aggiunti: a^m _* aⁿ = a^{m + n}.    

Esempi

- 4⁴ _* 4³ = 4⁴⁺³ = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2²⁺⁹ = 2¹¹

Quinta legge: divisione dei poteri con base uguale

Per dividere i poteri in cui le basi sono uguali e diverse da 0, la base viene mantenuta e gli esponenti vengono sottratti come segue: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Esempi

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Sesta legge: moltiplicazione di poteri con una base diversa

In questa legge abbiamo l'opposto di ciò che è espresso nel quarto; cioè, se ci sono basi diverse con eguali esponenti, le basi vengono moltiplicate e l'esponente viene mantenuto: a^m _* B^m = (a_*b) ^m.

Esempi

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹ _* 9¹¹ = (45*9)^{11 =} 405¹¹.

Un altro modo per rappresentare questa legge è quando una moltiplicazione viene elevata a un potere. Pertanto, l'esponente apparterrà a ciascuno dei termini: (a_*b)^m= a^m_* B^m.

Esempi

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

Settima legge: divisione dei poteri con base diversa

Se ci sono basi diverse ma con eguali esponenti, le basi vengono divise e l'esponente viene mantenuto: a^m / b^m = (a / b)^m.

Esempi

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

Allo stesso modo, quando una divisione è elevata a un potere, l'esponente apparterrà a ciascuno dei termini: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Esempi

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

C'è un caso in cui l'esponente è negativo. Quindi, per essere positivo, il valore del numeratore è invertito con quello del denominatore, nel modo seguente:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = ( 5 / 4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Ottava legge: potere di un potere

Quando hai un potere innalzato ad un altro potere, cioè due esponenti allo stesso tempo, la base viene mantenuta e gli esponenti si moltiplicano: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Esempi

- (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Nona legge: esponente frazionale

Se la potenza ha una frazione di esponente, viene risolta trasformandola in una radice di ennesima, dove il numeratore rimane come esponente e il denominatore rappresenta l'indice della radice:

esempio

Esercizi risolti

Esercizio 1

Calcola le operazioni tra i poteri che hanno basi diverse:

2⁴ _* 4⁴ / 8².

soluzione

Applicando le regole degli esponenti, nel numeratore le basi vengono moltiplicate e l'esponente viene mantenuto, come questo:

2⁴ _* 4⁴ / 8²=(2_*4)⁴ / 8²  =  8⁴ / 8²

Ora, dato che abbiamo le stesse basi ma con esponenti diversi, la base viene mantenuta e gli esponenti vengono sottratti:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Esercizio 2

Calcola le operazioni tra le alte potenze a un'altra potenza:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

soluzione

Applicando le leggi, devi:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

=3⁶ _* 2^-2 _* 2^-10 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

=3⁶ _*  2^-12 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

=3⁶ _* 2⁶

=(3_*2)⁶

=6⁶

=46.656

riferimenti

1. Aponte, G. (1998). Fondamenti di matematica di base. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematica applicata alla vita quotidiana.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematica 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra e trigonometria
5. Rees, P. K. (1986). Reverte.