Caratteristiche, tipi, area, volume di Paralepiped

un parallelepipedo è un corpo geometrico formato da sei volti, la cui caratteristica principale è che tutti i loro volti sono parallelogrammi e anche le loro facce opposte sono parallele tra loro. È un poliedro comune nella nostra vita quotidiana, poiché possiamo trovarlo nelle scatole delle scarpe, nella forma di un mattone, nella forma di un forno a microonde, ecc.

Essendo un poliedro, il parallelepipedo racchiude un volume finito e tutte le sue facce sono piatte. Fa parte del gruppo di prismi, che sono quei poliedri in cui tutti i loro vertici sono contenuti in due piani paralleli.

indice

• 1 elementi del parallelepipedo
  • 1.1 volti
  • 1.2 bordi
  • 1.3 Vertice
  • 1.4 Diagonale
  • 1.5 Centro
• 2 Caratteristiche del parallelepipedo
• 3 tipi
  • 3.1 Calcolo delle diagonali
• 4 Area
  • 4.1 Area di un ortoedro
  • 4.2 Area di un cubo
  • 4.3 Area di un romboedro
  • 4.4 Area di un rombico
• 5 Volume di un parallelepipedo
  • 5.1 parallelepipedo perfetto
• 6 Bibliografia

Elementi del parallelepipedo

Caras

Sono ciascuna delle regioni formate da parallelogrammi che limitano il parallelepipedo. Un parallelepipedo ha sei facce, in cui ogni faccia ha quattro facce adiacenti e una di fronte. Inoltre, ogni faccia è parallela al suo opposto.

Aristas

Sono il lato comune di due volti. In totale, un parallelepipedo ha dodici bordi.

vertice

È il punto in comune di tre facce adiacenti l'una all'altra due a due. Un parallelepipedo ha otto vertici.

diagonale

Dati due lati opposti di un parallelepipedo, possiamo disegnare un segmento di linea che va dall'apice di una faccia al vertice opposto dell'altro.

Questo segmento è noto come la diagonale del parallelepipedo. Ogni parallelepipedo ha quattro diagonali.

centro

È il punto in cui tutte le diagonali si intersecano.

Caratteristiche del parallelepipedo

Come abbiamo detto, questo corpo geometrico ha dodici bordi, sei facce e otto vertici.

In un parallelepipedo si possono identificare tre serie formate da quattro spigoli, che sono paralleli tra loro. Inoltre, i bordi di questi set soddisfano anche la proprietà di avere la stessa lunghezza.

Un'altra proprietà che i parallelepipedi possiedono è che sono convessi, cioè, se prendiamo qualsiasi coppia di punti appartenenti all'interno del parallelepipedo, il segmento determinato da detta coppia di punti sarà anche all'interno del parallelepipedo.

Inoltre, i parallelepipedi sono poliedri convessi conformi al teorema di Eulero per i poliedri, che ci fornisce una relazione tra il numero di facce, il numero di bordi e il numero di vertici. Questa relazione è data sotto forma della seguente equazione:

C + V = A + 2

Questa caratteristica è nota come caratteristica di Eulero.

Dove C è il numero di facce, V il numero di vertici e A il numero di bordi.

tipo

Possiamo classificare parallelepipedi in base ai loro volti, nei seguenti tipi:

cuboide

Sono i parallelepipedi in cui i loro volti sono formati da sei rettangoli. Ogni rettangolo è perpendicolare a quelli che condivide il bordo. Sono i più comuni nella nostra vita quotidiana essendo questo il solito modo di scatole di scarpe e mattoni.

Cubo o esaedro regolare

Questo è un caso particolare del precedente, in cui ciascuna delle facce è un quadrato.

Il cubo fa anche parte dei corpi geometrici chiamati solidi platonici. Un solido platonico è un poliedro convesso, così che le sue facce e i suoi angoli interni sono uguali tra loro.

romboedro

È un parallelepipedo con diamanti sul suo volto. Questi diamanti sono tutti uguali tra loro, poiché condividono i bordi.

Romboiedro

Le sue sei facce sono romboidi. Ricorda che un romboide è un poligono con quattro lati e quattro angoli che sono uguali due a due. I romboidi sono i parallelogrammi che non sono né quadrati, né rettangoli, né rombi.

D'altra parte, i parallelepipedi obliqui sono quelli in cui almeno un'altezza non è d'accordo con il suo bordo. In questa classificazione possiamo includere romboedri e romboedri.

Calcolo diagonale

Per calcolare la diagonale di un ortoedro possiamo usare il Teorema di Pitagora per R³.

Ricordiamo che un ortoedro ha la caratteristica che ogni lato è perpendicolare con i lati che condividono il bordo. Da questo fatto possiamo dedurre che ogni spigolo è perpendicolare con quelli che condividono vertici.

Per calcolare la lunghezza di una diagonale di un ortoedro procediamo come segue:

1. Calcoliamo la diagonale di una delle facce, che metteremo come base. Per questo usiamo il teorema di Pitagora. Nome questa diagonale d_B.

2. Quindi con d_B possiamo formare un nuovo triangolo rettangolo, tale che l'ipotenusa di detto triangolo sia la D diagonale cercata.

3. Usiamo ancora il teorema di Pitagora e abbiamo che la lunghezza di detta diagonale è:

Un altro modo per calcolare le diagonali in un modo più grafico è la somma dei vettori liberi.

Ricordiamo che due vettori liberi A e B sono aggiunti posizionando la coda del vettore B con la punta del vettore A.

Il vettore (A + B) è quello che inizia alla coda di A e termina sulla punta di B.

Considera un parallelepipedo a cui vogliamo calcolare una diagonale.

Identifichiamo i bordi con vettori opportunamente orientati.

Quindi aggiungiamo questi vettori e il vettore risultante sarà la diagonale del parallelepipedo.

zona

L'area di un parallelepipedo è data dalla somma di ciascuna delle aree delle sue facce.

Se determiniamo uno dei lati come base,

la_L + 2A_B = Area totale

Dove A_L è uguale alla somma delle aree di tutti i lati adiacenti alla base, chiamate area laterale e A_B è l'area di base.

A seconda del tipo di parallelepipedo con cui stiamo lavorando, possiamo riscrivere la formula.

Area di un ortoedro

È dato dalla formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Esempio 1

Dato il seguente ortoedro, con lati a = 6 cm, b = 8 cm ec = 10 cm, calcola l'area del parallelepipedo e la lunghezza della sua diagonale.

Usando la formula per l'area di un ortoedro dobbiamo

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Nota che poiché è un ortoedro, la lunghezza di una qualsiasi delle sue quattro diagonali è la stessa.

Usando il teorema di Pitagora per lo spazio dobbiamo

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Area di un cubo

Poiché ogni spigolo ha la stessa lunghezza, abbiamo a = b e a = c. Sostituendo nella formula precedente che abbiamo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Esempio 2

La scatola di una console di gioco ha la forma di un cubo. Se vogliamo avvolgere questa scatola con carta regalo, quanta carta dovremmo spendere sapendo che la lunghezza dei bordi del cubo è di 45 cm?

Usando la formula dell'area del cubo, la otteniamo

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Area di un romboedro

Poiché tutti i loro volti sono uguali, è sufficiente calcolare l'area di uno di essi e moltiplicarlo per sei.

Possiamo calcolare l'area di un diamante usando le sue diagonali con la seguente formula

la_R = (Dd) / 2

Usando questa formula ne consegue che l'area totale del romboedro è

la_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Esempio 3

Le facce del seguente romboedro sono formate da un rombo le cui diagonali sono D = 7 cm e d = 4 cm. La tua area sarà

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Area di un rombico

Per calcolare l'area di un rombo dobbiamo calcolare l'area dei romboidi che la compongono. Poiché parallelepipedi rispettano la proprietà che i lati opposti hanno la stessa area, possiamo associare i lati in tre coppie.

In questo modo abbiamo che la tua area sarà

la_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Dove il b_io sono le basi associate ai lati e al_io la sua altezza relativa corrispondente a dette basi.

Esempio 4

Considera il seguente parallelepipedo,

dove il lato A e il lato A '(il lato opposto) hanno una base b = 10 e altezza h = 6. L'area contrassegnata avrà un valore di

la₁ = 2(10)(6) =120

Il B e il B 'hanno b = 4 e h = 6, quindi

la₂ = 2(4)(6) = 48

E C e C 'hanno b = 10 e h = 5, quindi

la₃ = 2(10)(5) =100

Finalmente l'area del romboedro è

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume di un parallelepipedo

La formula che ci dà il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una delle sue facce per l'altezza corrispondente a quella faccia.

V = A_Ch_C

A seconda del tipo di parallelepipedo detta formula può essere semplificata.

Quindi abbiamo ad esempio che il volume di un ortoedro sarebbe dato da

V = abc

Dove a, b e c rappresentano la lunghezza dei bordi dell'ortroedro.

E nel caso particolare del cubo lo è

V = a³

Esempio 1

Esistono tre diversi modelli di scatole di cookie e vuoi sapere in quali di questi modelli puoi memorizzare più cookie, cioè quale delle caselle ha più volume.

Il primo è un cubo il cui bordo ha una lunghezza di a = 10 cm

Il suo volume sarà V = 1000 cm³

Il secondo ha bordi b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

E quindi il suo volume è V = 765 cm³

E il terzo ha e = 9 cm, f = 9 cm e g = 13 cm

E il suo volume è V = 1053 cm³

Pertanto, la casella con il volume più alto è la terza.

Un altro metodo per ottenere il volume di un parallelepipedo è quello di ricorrere all'algebra vettoriale. In particolare, il prodotto scalare triplo.

Una delle interpretazioni geometriche che ha il prodotto scalare triplo è il volume del parallelepipedo, i cui bordi sono tre vettori che condividono lo stesso vertice di un punto di partenza.

In questo modo se abbiamo un parallelepipedo e vogliamo sapere qual è il suo volume, è sufficiente rappresentarlo in un sistema di coordinate in R³ abbinare uno dei suoi vertici all'origine.

Quindi rappresentiamo i bordi che concorrono nell'origine con i vettori come mostrato nella figura.

E in questo modo abbiamo che il volume di detto parallelepipedo è dato da

V = | AxB ∙ C |

O in modo equivalente il volume è il determinante della matrice 3 × 3, formato dai componenti dei vettori di bordo.

Esempio 2

Rappresentando il prossimo parallelepipedo in R³ possiamo vedere che i vettori che lo determinano sono i seguenti

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) e w = (-0.25, -4, 4)

Usando il prodotto scalare triplo che abbiamo

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4,4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Da ciò concludiamo che V = 60

Consideriamo ora il seguente parallelepipedo in R3 i cui bordi sono determinati dai vettori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)

Usare i determinanti ci dà questo

Quindi abbiamo che il volume di detto parallelepipedo è 112.

Entrambi sono modi equivalenti per calcolare il volume.

Parallelepipedo perfetto

È noto come il mattone di Eulero (o blocco di Eulero) per un ortoedro che soddisfa la proprietà che sia la lunghezza dei suoi bordi sia la lunghezza delle diagonali di ciascuna delle sue facce sono numeri interi.

Mentre Eulero non era il primo scienziato a studiare gli ortoedri che adempivano a quella proprietà, ha trovato risultati interessanti su di loro.

Il mattone Eulero più piccolo è stato scoperto da Paul Halcke e le lunghezze dei suoi bordi sono a = 44, b = 117 ec = 240.

Un problema aperto nella teoria dei numeri è il seguente

Ci sono ortoedri perfetti?

Al momento non è possibile rispondere a questa domanda, poiché non è stato possibile dimostrare che questi corpi non esistano, ma nessuno dei due è stato trovato.

Ciò che è stato mostrato finora è che esistono parallelepipedi perfetti. Il primo a essere scoperto ha la lunghezza dei suoi bordi valori 103, 106 e 271.

bibliografia

1. Guy, R. (1981). Problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Progress.
3. Leithold, L. (1992). IL CALCOLO con geometria analitica. HARLA, S.A.
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5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fisica Vol. 1. Messico: continentale.