Spiegazione di prodotti notevoli ed esercizi risolti

il prodotti notevoli Sono operazioni algebriche in cui moltiplicazioni di polinomi, che non hanno bisogno di essere risolti tradizionalmente, ma con l'aiuto di alcune norme si possono trovare i relativi risultati sono espressi.

I polinomi vengono moltiplicati per sì, pertanto possono avere un numero elevato di termini e variabili. Per abbreviare il processo, vengono utilizzate le regole dei prodotti notevoli, che consentono di realizzare moltiplicazioni senza dover andare a termine.

indice

• 1 Prodotti e esempi notevoli
  • 1.1 Binomiale al quadrato
  • 1.2 Prodotto di binomi coniugati
  • 1.3 Prodotto di due binomiali con un termine comune
  • 1.4 Polinomiale al quadrato
  • 1.5 Binomiale al cubo
  • 1.6 Cubo di un trinomio
• 2 esercizi risolti per prodotti notevoli
  • 2.1 Esercizio 1
  • 2.2 Esercizio 2
• 3 riferimenti

Prodotti ed esempi notevoli

Ogni prodotto notevole è una formula che è un polinomi fattorizzazione composti da vari termini come accoppiata o trinomiali, detti fattori.

I fattori sono la base di un potere e hanno un esponente. Quando i fattori si moltiplicano, gli esponenti devono essere aggiunti.

Esistono diverse formule di prodotto notevoli, alcune sono più usate di altre, a seconda dei polinomi, e sono le seguenti:

Binomiale al quadrato

È la moltiplicazione di un binomio di per sé, espressa nella forma del potere, in cui i termini sono aggiunti o sottratti:

a. Binomiale della somma al quadrato: è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio del prodotto dei termini, più il quadrato del secondo termine. È espresso come segue:

(a + b)² = (a + b) _* (a + b)

La seguente figura mostra come il prodotto è sviluppato secondo la regola sopra citata. Il risultato è chiamato trinomio di un quadrato perfetto.

Esempio 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Esempio 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 ab + 4b².

b. Binomiale di una sottrazione al quadrato: la stessa regola si applica al binomio di una somma, solo che in questo caso il secondo termine è negativo. La sua formula è la seguente:

(a - b)² = [(a) + (- b)]²

(a - b)² = a² + 2a _* (-b) + (-b)²

(a - b)²   = a² - 2ab + b².

Esempio 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36

Prodotto di binomi coniugati

Due binomi sono coniugati quando i secondi termini di ciascuno sono di segni diversi, cioè quello del primo è positivo e quello del secondo negativo o viceversa. Risolvi alzando ogni quadrato monomy e sottrai. La sua formula è la seguente:

(a + b) _* (a - b)

Nella figura seguente viene sviluppato il prodotto di due binomi coniugati, dove si osserva che il risultato è una differenza di quadrati.

Esempio 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² - 9b².

Prodotto di due binomiali con un termine comune

È uno dei prodotti più complessi e poco usati perché è una moltiplicazione di due binomi che hanno un termine comune. La regola indica quanto segue:

• Il quadrato del termine comune.
• Inoltre aggiungi i termini che non sono comuni e quindi moltiplicali per il termine comune.
• Più la somma della moltiplicazione di termini che non sono comuni.

È rappresentato nella formula: (x + a) _* (x + b) ed è sviluppato come mostrato nell'immagine. Il risultato è un trinomio quadrato non perfetto.

Esempio 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54

Esiste la possibilità che il secondo termine (il diverso termine) sia negativo e la sua formula sia la seguente: (x + a) _* (x - b).

Esempio 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8

Può anche accadere che entrambi i termini siano negativi. La sua formula sarà: (x - a) _* (x - b).

Esempio 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Polinomio quadrato

In questo caso ci sono più di due termini e per svilupparlo, ognuno è quadrato e sommato insieme al doppio della moltiplicazione di un termine con un altro; la sua formula è: (a + b + c)² e il risultato dell'operazione è un trinomiale al quadrato.

Esempio 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2 anni)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9 volte² + 4y² + 16z² + 12xy + 24xz + 16yz.

Secchio binomiale

È un prodotto notevole notevole.Per svilupparlo, moltiplica il binomio per il suo quadrato, nel modo seguente:

a. Per il binomio al cubo di una somma:

• Il cubo del primo termine, più il triplo del quadrato del primo termine del secondo.
• Più la tripla del primo termine, entro il secondo quadrato.
• Più il cubo del secondo mandato.

(a + b)³ = (a + b) _* (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (un² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Esempio 1

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. Per il binomio al cubo di una sottrazione:

• Il cubo del primo termine, meno il triplo del quadrato del primo termine del secondo.
• Più la tripla del primo termine, entro il secondo quadrato.
• Tranne il cubo del secondo termine.

(a - b)³ = (a - b) _* (a - b)²

(a - b)³ = (a - b) _* (un² - 2ab + b²)

(a - b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Esempio 2

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

(b - 5)³ = b³ - 15b² + 75b - 125

Secchio di trinomio

Si sviluppa moltiplicandolo per il suo quadrato. È un prodotto notevole molto esteso perché ci sono 3 termini alzati al cubo, più tre volte ogni termine quadrato, moltiplicato per ciascuno dei termini, più sei volte il prodotto dei tre termini. Visto in un modo migliore:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (un² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

Esempio 1

Esercizi risolti di prodotti notevoli

Esercizio 1

Sviluppa il seguente binomio per il cubo: (4x - 6)³.

soluzione

Ricordando che un binomio del cubo è uguale al primo termine elevato al cubo, meno il triplo del quadrato del primo termine del secondo; più il triplo del primo termine, dal secondo al quadrato, meno il cubo del secondo termine.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36

Esercizio 2

Sviluppa il seguente binomio: (x + 3) (x + 8).

soluzione

Esiste un binomio in cui esiste un termine comune, che è x e il secondo termine è positivo. Per svilupparlo basta quadrare il termine comune, più la somma dei termini che non sono comuni (3 e 8) e quindi moltiplicarli per il termine comune, più la somma della moltiplicazione di termini che non sono comuni.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24

riferimenti

1. Angel, A. R. (2007). Algebra elementare Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Regno Unito: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Algebra elementare e intermedia: un approccio combinato. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.