Teorema di Chebyshov di cosa è composto, applicazioni ed esempi



il Teorema di Chebyshov (o disuguaglianza di Chebyshov) è uno dei più importanti risultati classici della teoria della probabilità. Ci permette di stimare la probabilità di un evento descritto in termini di una variabile casuale X, fornendoci una dimensione che non dipende dalla distribuzione della variabile casuale ma dalla varianza di X.

Il teorema prende il nome dal matematico russo Chebyshev Pafnuty (scritto anche come Chebychev o Tchebycheff) che, pur non essendo il primo ad enunciare questo teorema, è stato il primo a dare una dimostrazione nel 1867.

Questa disuguaglianza, o quelle che per le loro caratteristiche si chiamano disuguaglianza di Chebyshov, è usata principalmente per approssimare le probabilità mediante il calcolo delle dimensioni.

indice

  • 1 Che cos'è?
  • 2 Applicazioni ed esempi
    • 2.1 Limitazione delle probabilità
    • 2.2 Dimostrazione dei teoremi limite
    • 2.3 Dimensione del campione
  • 3 disuguaglianze tipo Chebyshov
  • 4 riferimenti

Cos'è?

Nello studio della teoria della probabilità accade che se conosciamo la funzione di distribuzione di una variabile casuale X, possiamo calcolare il suo valore atteso - o aspettativa matematica E (X) - e la sua varianza Var (X), purché detti importi esistono. Tuttavia, il reciproco non è necessariamente vero.

Cioè, conoscendo E (X) e Var (X) non è necessariamente possibile ottenere la funzione di distribuzione di X, quindi quantità come P (| X |> k) per alcuni k> 0 sono molto difficili da ottenere. Ma grazie alla disuguaglianza di Chebyshov è possibile stimare la probabilità della variabile casuale.

Il teorema di Chebyshov ci dice che se abbiamo una variabile casuale X su uno spazio campione S con una funzione di probabilità p, e se k> 0, allora:

Applicazioni ed esempi

Tra le molte applicazioni che il teorema di Chebyshov possiede, si può menzionare quanto segue:

Assottigliamento delle probabilità

Questa è l'applicazione più comune ed è usata per dare un limite superiore per P (| XE (X) | ≥k) dove k> 0, solo con la varianza e l'aspettativa della variabile casuale X, senza conoscere la funzione di probabilità .

Esempio 1

Supponiamo che il numero di prodotti fabbricati in un'azienda durante una settimana sia una variabile casuale con una media di 50.

Se sappiamo che la varianza di una settimana di produzione è pari a 25, allora cosa possiamo dire sulla probabilità che questa settimana la produzione differisca di oltre 10 dalla media?

soluzione

Applicando la disuguaglianza di Chebyshov dobbiamo:

Da ciò possiamo ottenere che la probabilità che nella settimana di produzione il numero di articoli superi di oltre 10 la media è al massimo 1/4.

Dimostrazione dei teoremi limite

La disuguaglianza di Chebyshov gioca un ruolo importante nella dimostrazione dei teoremi limite più importanti. Ad esempio abbiamo il seguente:

Legge debole di grandi numeri

Questa legge stabilisce che data una sequenza X1, X2, ..., Xn, ... di variabili casuali indipendenti con la stessa distribuzione media E (Xi) = μ e varianza Var (X) = σ2e un campione medio noto di:

Quindi per k> 0 devi:

O, in modo equivalente:

spettacolo

Per prima cosa notiamo quanto segue:

Poiché X1, X2, ..., Xn sono indipendenti, ne consegue che:

Pertanto, è possibile affermare quanto segue:

Quindi, usando il teorema di Chebyshov, dobbiamo:

Infine, il teorema risulta dal fatto che il limite a destra è zero quando n tende all'infinito.

Va notato che questo test è stato fatto solo per il caso in cui esiste la varianza di Xi; cioè, non diverge. Quindi osserviamo che il teorema è sempre vero se E (Xi) esiste.

Teorema dei limiti di Chebyshov

Se X1, X2, ..., Xn, ... è una sequenza di variabili casuali indipendenti tale che non v'è alcun C <all'infinito, tale che Var (Xn) ≤ C per ogni n naturale, allora per ogni k> 0:

spettacolo

Poiché la successione delle varianze è uniformemente limitata, abbiamo Var (Sn) ≤ C / n, per tutto il naturale n. Ma sappiamo che:

Facendo n tendere verso l'infinito, i seguenti risultati:

Poiché una probabilità non può superare il valore di 1, si ottiene il risultato desiderato. Come conseguenza di questo teorema potremmo citare il caso particolare di Bernoulli.

Se un esperimento viene ripetuto n volte indipendentemente con due possibili esiti (fallimento e successo), dove p è la probabilità di successo in ogni esperimento e X è la variabile casuale che rappresenta il numero di successi ottenuti, quindi per ogni k> 0 devi:

Dimensione del campione

In termini di varianza, disuguaglianza Chebyshev ci permette di trovare una dimensione n campione che è sufficiente a garantire che la probabilità che | Sn-μ |> = k si verifica è piccolo come desiderato, permettendo un'approssimazione alla media.

Precisamente, sia X1, X2, ... Xn un campione di variabili casuali indipendenti di dimensione n e supponiamo che E (Xi) = μ e la sua varianza σ2. Quindi, a causa della disuguaglianza di Chebyshov, dobbiamo:

Ora sia corretto δ> 0. Dobbiamo:

esempio

Supponiamo che X1, X2, ... Xn siano un campione di variabili casuali indipendenti con distribuzione di Bernoulli, in modo che assumano il valore 1 con probabilità p = 0.5.

Quale dovrebbe essere la dimensione del campione per essere in grado di garantire che la probabilità che la differenza tra il valore aritmetico Sn e il suo valore atteso (che superi più di 0,1) sia inferiore o uguale a 0., 01?

soluzione

Abbiamo che E (X) = μ = p = 0.5 e che Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Per la disuguaglianza di Chebyshov, per ogni k> 0 dobbiamo:

Ora, prendendo k = 0,1 e δ = 0,01, dobbiamo:

In questo modo si conclude che è necessaria una dimensione del campione di almeno 2500 per assicurare che la probabilità di evento | Sn - 0.5 |> = 0.1 sia inferiore a 0.01.

Le disuguaglianze tipo Chebyshov

Ci sono varie disuguaglianze legate alla disuguaglianza di Chebyshov. Uno dei più noti è la disuguaglianza di Markov:

In questa espressione X è una variabile casuale non negativa con k, r> 0.

La disuguaglianza di Markov può assumere forme diverse. Ad esempio, sia Y una variabile casuale non negativa (quindi P (Y> = 0) = 1) e supponiamo che E (Y) = μ esista. Supponiamo anche che (E (Y))r=μr esiste per alcuni interi r> 1. allora:

Un'altra disuguaglianza è quella di Gauss, che ci dice che data una variabile casuale unimodale X con modalità a zero, quindi per k> 0,

riferimenti

  1. Kai Lai Chung Teoria della teoria elementare con processi stocastici. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, matematica discreta e sue applicazioni. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Probabilità e applicazioni statistiche. Inc. ALHAMBRA MESSICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 problemi risolti di matematica discreta. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemi di probabilità. McGraw-Hill.