Formule del teorema di Euclide, dimostrazione, applicazione ed esercizi

il Teorema di Euclide mostra le proprietà di un triangolo rettangolo tracciando una linea che la divide in due nuovi triangoli rettangoli che sono simili tra loro e, a loro volta, sono simili al triangolo originale; allora, c'è una relazione di proporzionalità.

Euclide fu uno dei più grandi matematici e geometri dell'antichità che realizzò diverse dimostrazioni di importanti teoremi. Uno dei principali è quello che porta il suo nome, che ha avuto una vasta applicazione.

Questo è stato così perché, attraverso questo teorema, spiega in modo semplice le relazioni geometriche esistenti nel triangolo rettangolo, dove le gambe di questo sono legate alle loro proiezioni nell'ipotenusa.

indice

• 1 formule e dimostrazione
  • 1.1 Teorema dell'altezza
  • 1.2 Teorema delle gambe
• 2 Relazione tra i teoremi di Euclide
• 3 esercizi risolti
  • 3.1 Esempio 1
  • 3.2 Esempio 2
• 4 riferimenti

Formule e dimostrazione

teorema di Euclide suggerisce che tutto triangolo rettangolo, quando una linea che rappresenta l'altezza corrispondente al vertice dell'angolo retto alle hipotenusa- due triangoli rettangoli viene aspirata dalla forma originale.

Questi triangoli saranno simili tra loro e saranno anche simili al triangolo originale, il che significa che i loro lati simili sono proporzionali tra loro:

Gli angoli dei tre triangoli sono congruenti; vale a dire, che quando viene ruotato di 180 gradi sul suo vertice, un angolo coincide con l'altro. Ciò implica che tutti saranno uguali.

In questo modo puoi anche verificare la somiglianza che esiste tra i tre triangoli, dall'uguaglianza dei loro angoli. Dalla somiglianza dei triangoli, Euclide stabilisce le proporzioni di questi da due teoremi:

- Teorema dell'altezza.

- Teorema delle gambe.

Questo teorema ha una vasta applicazione. Nell'antichità veniva usato per calcolare altezze o distanze, rappresentando un grande progresso per la trigonometria.

Attualmente è applicato in diverse aree che si basano su matematica, come ingegneria, fisica, chimica e astronomia, tra molte altre aree.

Teorema dell'altezza

Questo teorema afferma che ogni triangolo rettangolo, l'altezza tratte dai angolo retto rispetto l'ipotenusa è la media geometrica proporzionale (il quadrato dell'altezza) tra le sporgenze delle gambe determina l'ipotenusa.

Cioè, il quadrato dell'altezza sarà uguale alla moltiplicazione delle gambe proiettate che formano l'ipotenusa:

h_c² = m _* n

spettacolo

Dato un triangolo ABC, che è un rettangolo nel vertice C, quando si traccia l'altezza, vengono generati due triangoli rettangoli simili, ADC e BCD; pertanto, i loro lati corrispondenti sono proporzionali:

In modo tale che l'altezza h_c che corrisponde al segmento CD, corrisponde all'ipotenusa AB = c, quindi dobbiamo:

A sua volta, ciò corrisponde a:

Cancellare l'ipotenusa (h_c), per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, devi:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Quindi, il valore dell'ipotenusa è dato da:

Teorema delle gambe

Questo teorema afferma che in ogni triangolo rettangolo, l'estensione di ciascuna gamba è proporzionale media geometrica (quadrato di ciascuna gamba) tra la misura dell'ipotenusa (completa) e ciascuna sporgenza su questo:

B² = c _* m

a² = c_* n

spettacolo

Dato un triangolo ABC, cioè rettangolo al vertice C, tale che la sua ipotenusa è c, tracciando l'altezza (h) le proiezioni delle gambe b, che sono segmenti m ed n rispettivamente, e che sono in sono determinati l'ipotenusa

Quindi, abbiamo che l'altezza disegnata sul triangolo destro ABC genera due triangoli rettangoli simili, ADC e BCD, in modo che i lati corrispondenti siano proporzionali, come questo:

DB = n, che è la proiezione della gamba CB sull'ipotenusa.

AD = m, che è la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa.

Quindi, l'ipotenusa c è determinata dalla somma delle gambe delle sue sporgenze:

c = m + n

A causa della somiglianza dei triangoli ADC e BCD, dobbiamo:

Quanto sopra è lo stesso di:

Svuotando la gamba "a" per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, devi:

a _* a = c _* n

a² = c _* n

Quindi, il valore della gamba "a" è dato da:

Allo stesso modo, per la somiglianza dei triangoli ACB e ADC, dobbiamo:

Quanto sopra è uguale a:

Svuotando la gamba "b" per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, si deve:

B _* b = c _* m

B² = c _* m

Pertanto, il valore della gamba "b" è dato da:

Relazione tra i teoremi di Euclide

I teoremi relativi all'altezza e alle gambe sono correlati tra loro perché la misurazione di entrambi è fatta rispetto all'ipotenusa del triangolo rettangolo.

Attraverso la relazione dei teoremi di Euclide si può anche trovare il valore dell'altezza; ciò è possibile cancellando i valori di m e n del teorema della gamba e questi vengono sostituiti nel teorema dell'altezza. In questo modo, l'altezza è uguale alla moltiplicazione delle gambe, divisa per l'ipotenusa:

B² = c _* m

m = b² ÷ c 

a² = c _* n

n = a² ÷ c

Nel teorema dell'altezza, m e n sono sostituiti:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (un² ÷ c)

h_c = (b² _* a²) ÷ c

Esercizi risolti

Esempio 1

Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, determinare la misura di AC e AD, se AB = 30 cm e BD = 18 cm

soluzione

In questo caso abbiamo le misure di una delle gambe proiettate (BD) e di una delle gambe del triangolo originale (AB). In questo modo, il teorema della gamba può essere applicato per trovare il valore della gamba BC.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

AC = 50 cm

Il valore del cateto CD può essere trovato sapendo che BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Ora è possibile determinare il valore del cateto AC, applicando nuovamente il teorema della gamba:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Per determinare il valore dell'altezza (AD) viene applicato il teorema dell'altezza, poiché i valori delle gambe proiettate CD e BD sono noti:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Esempio 2

Determina il valore dell'altezza (h) di un triangolo MNL, rettangolo in N, conoscendo le misure dei segmenti:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

soluzione

Hai la misura di una delle gambe proiettata sull'ipotenusa (PM), così come le misure delle gambe del triangolo originale. In questo modo è possibile applicare il teorema delle gambe per trovare il valore dell'altra catetere proiettata (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Come già sappiamo il valore delle gambe e l'ipotenusa, attraverso la relazione dei teoremi dell'altezza e delle gambe, si può determinare il valore dell'altezza:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b² _* a²) ÷ c.

h = (10² _* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

riferimenti

1. Braun, E. (2011). Caos, frattali e cose strane. Fondo per la cultura economica.
2. Cabrera, V. M. (1974). Matematica moderna, Volume 3.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). Matematica del 3 ° anno Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Enciclopedia ispanica: Macropedia. Enciclopedia Britannica Publishers.
5. Euclide, R. P. (1886). Elementi di geometria di Euclide.
6. Guardeño, A. J. (2000). L'eredità della matematica: da Euclide a Newton, i geni attraverso i suoi libri. Università di Siviglia.