Teorema di Talete di Mileto Primo, Secondo ed Esempi

Il primo e il secondo Teorema di Talete di Mileto si basano sulla determinazione di triangoli da altri simili (primo teorema) o circonferenze (secondo teorema). Sono stati molto utili in varie aree. Ad esempio, il primo teorema si è rivelato molto utile per misurare strutture di grandi dimensioni quando non esistevano strumenti di misurazione sofisticati.

Talete di Mileto era un matematico greco che forniva grandi contributi alla geometria, di cui questi due teoremi si distinguono (in alcuni testi lo scrivono anche come Talete) e le loro utili applicazioni. Questi risultati sono stati usati nel corso della storia e hanno permesso di risolvere un'ampia varietà di problemi geometrici.

indice

• 1 Primo Teorema dei Racconti
  • 1.1 Applicazione
  • 1.2 Esempi
• 2 Secondo teorema di Tales
  • 2.1 Applicazione
  • 2.2 Esempio
• 3 riferimenti

Primo teorema di Tales

Il primo teorema di Tales è uno strumento molto utile che, tra le altre cose, consente di costruire un triangolo simile ad un altro, precedentemente noto. Da ciò derivano varie versioni del teorema che possono essere applicate in più contesti.

Prima di dare la tua dichiarazione, ricorda alcune nozioni di somiglianza dei triangoli. Essenzialmente, due triangoli sono simili se i loro angoli sono congruenti (hanno la stessa misura). Ciò dà origine al fatto che, se due triangoli sono simili, i loro lati corrispondenti (o omologhi) sono proporzionali.

Il primo teorema di Talete afferma che se in un dato triangolo viene disegnata una linea retta parallela a uno qualsiasi dei suoi lati, il nuovo triangolo ottenuto sarà simile al triangolo iniziale.

Nella figura precedente, i triangoli ABC e DEC sono simili. La proporzionalità che si ottiene a causa di questa somiglianza genera anche una relazione di proporzionalità tra due lati dello stesso triangolo e i due lati corrispondenti dell'altro. Ad esempio, tenendo conto della figura precedente dovresti anche:Un altro modo in cui si può vedere il primo teorema tale, ed è anche utile, è la seguente: se due linee L1 e L2 (eventuali) vengono tagliati linee parallele (qualsiasi numero di questi), poi i segmenti formati in L1 sono proporzionali ai corrispondenti formati in L2.

Si ottiene anche una relazione tra gli angoli che si formano, come mostrato nella figura seguente.

applicazione

Tra le sue numerose applicazioni mette in luce un particolare interesse e ha a che fare con uno dei modi in cui sono state effettuate le misurazioni di grandi strutture in tempi antichi, il tempo in cui visse Tales e dove non è contato su strumenti di misura moderni Esistono ora.

Si dice che sia così che Thales riuscì a misurare la più alta piramide in Egitto, Cheope. Per questo, Thales suppose che i riflessi dei raggi solari toccassero il terreno formando linee parallele. Sotto questa ipotesi, ha bloccato un bastone o una canna verticalmente nel terreno.

Poi usò la somiglianza dei due triangoli risultanti, un formato dalla lunghezza dell'ombra della piramide (che può essere calcolata facilmente) e l'altezza della piramide (sconosciuto), e l'altro è formata dalle lunghezze della tonalità e l'altezza dell'asta (che può anche essere facilmente calcolata).

Usando la proporzionalità tra queste lunghezze, puoi cancellare e conoscere l'altezza della piramide.

Anche se questo metodo di misurazione può gettare un approccio significativo errore quanto riguarda l'accuratezza dell'altezza e dipende dal parallelismo dei raggi solari (che a sua volta dipende da un tempo preciso), dobbiamo riconoscere che è un'idea molto intelligente e quello ha fornito una buona alternativa di misurazione per il tempo.

Esempi

Trova il valore di x in ciascun caso:

Primo caso 

soluzione

Qui abbiamo due linee tagliate da due linee parallele. Con il primo teorema di Talete si ha che i loro rispettivi lati sono proporzionali. In particolare:

Secondo caso

soluzione

Qui abbiamo due triangoli, uno di questi formato da un segmento parallelo a uno dei lati dell'altro (precisamente il lato della lunghezza x). Con il primo teorema di Tales devi:

Secondo teorema di Tales

Il secondo teorema di Talete determina un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza in ogni punto dello stesso.

Un triangolo inscritto in una circonferenza è un triangolo i cui vertici sono sulla circonferenza, essendo così contenuti in questo.

Specificamente, il secondo teorema Tali stati: data una circonferenza di centro O e diametro AC, ciascun punto B della circonferenza (diverso da A e C) determina un triangolo ABC con angolo retto <>

A titolo di giustificazione, si noti che sia OA che OB e OC corrispondono al raggio della circonferenza; Pertanto, le loro misurazioni sono le stesse. Da lì si ottiene che i triangoli OAB e OCB sono isosceli, dove

È noto che la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180º. Usando questo con il triangolo ABC devi:

2b + 2a = 180º.

Equivalentemente, abbiamo che b + a = 90º eb + a =

Si noti che il triangolo destro fornito dal secondo teorema di Thales è precisamente quello il cui ipotenusa è uguale al diametro della circonferenza.Pertanto, è completamente determinato dal semicerchio che contiene i punti del triangolo; in questo caso, il semicerchio superiore.

Si noti inoltre che nel triangolo rettangolo ottenuto per mezzo del secondo teorema di Talete, l'ipotenusa è divisa in due parti uguali da OA e OC (il raggio). A sua volta, questa misura è uguale all'OB del segmento (anche il raggio), che corrisponde alla mediana del triangolo ABC di B.

In altre parole, la lunghezza della mediana del triangolo destro ABC corrispondente al vertice B è completamente determinata dalla metà dell'ipotenusa. Ricorda che la mediana di un triangolo è il segmento da uno dei vertici al punto medio del lato opposto; in questo caso, il segmento BO.

Circonferenza circoscritta

Un altro modo per vedere il secondo teorema di Thales è attraverso un cerchio circoscritto a un triangolo rettangolo.

In generale, un cerchio circoscritto a un poligono consiste nella circonferenza che passa attraverso ciascuno dei suoi vertici, ogni volta che è possibile rintracciarlo.

I usando il secondo teorema Tale dato un triangolo rettangolo, possiamo sempre costruire un circoscritto a questo, di raggio pari alla metà dell'ipotenusa e circumcenter (il centro del cerchio) come il punto medio dell'ipotenusa.

applicazione

Una importante applicazione del secondo teorema Tali, e forse il più usato, è quello di trovare le linee tangenti ad una determinata circonferenza, da un punto P esterno al (noto).

Si noti che, data una circonferenza (disegnata in blu nella figura) e un punto P esterno, vi sono due tangenti alla circonferenza che passa attraverso P. Sean T e T 'i punti di tangenza, r il raggio del cerchio e O al centro.

È noto che il segmento che va dal centro di un cerchio a un punto di tangenza di esso, è perpendicolare a questa linea tangente. Quindi, l'angolo OTP è dritto.

Da quanto visto in precedenza nel primo teorema di Thales e nelle sue diverse versioni, vediamo che è possibile iscrivere il triangolo OTP in un'altra circonferenza (in rosso).

Analogamente, si ottiene che il triangolo OT'P possa essere inscritto all'interno della stessa circonferenza precedente.

Per il secondo teorema aggiunta Tale otteniamo il nuovo diametro cerchio è appunto l'ipotenusa del triangolo OTP (che è uguale alla ipotenusa del triangolo OT'P), e il centro è il punto medio di questo hypotenuse.

Per calcolare il centro del nuovo cerchio abbastanza quindi calcolare la media tra la circonferenza di centro-dire M- iniziale (già noto) e il punto P (anche noto). Quindi, il raggio sarà la distanza tra questo punto M e P.

Con il raggio e il centro del cerchio rosso possiamo trovare la sua equazione cartesiana, che ricordiamo è data da (x-h)² + (y-k)² = c², dove c è il raggio e il punto (h, k) è il centro del cerchio.

Conoscendo ora le equazioni di entrambe le circonferenze, possiamo intersecarle risolvendo il sistema di equazioni formate da queste e ottenendo così i punti di tangenza T e T '. Infine, per conoscere le linee tangenti desiderate, è sufficiente trovare l'equazione delle rette passanti per T e P, e per T 'e P.

esempio

Considerare una circonferenza di diametro AC, centro O e raggio 1 cm. Sia B un punto sulla circonferenza tale che AB = AC. Quanto misura AB?

soluzione

Per il secondo teorema abbiamo Tale triangolo ABC è rettangolo e l'ipotenusa corrisponde al diametro, che in questo caso è di 2 cm (il raggio è 1 cm). Quindi, con il teorema di Pitagora dobbiamo:

riferimenti

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