Teorema di Moivre In cosa consiste, esercizi dimostrativi e risolti

il Il teorema di Moivre applica i processi fondamentali dell'algebra, come i poteri e l'estrazione delle radici in numeri complessi. Il teorema fu enunciato dal famoso matematico francese Abraham de Moivre (1730), che associava numeri complessi a trigonometria.

Abraham Moivre ha fatto questa associazione attraverso le espressioni del seno e del coseno. Questo matematico ha generato un tipo di formula attraverso la quale è possibile aumentare un numero complesso z alla potenza n, che è un numero intero positivo maggiore o uguale a 1.

indice

• 1 Qual è il teorema di Moivre?
• 2 Dimostrazione
  • 2.1 Base induttiva
  • 2.2 Ipotesi induttiva
  • 2.3 Controllo
  • 2.4 Numero intero negativo
• 3 esercizi risolti
  • 3.1 Calcolo dei poteri positivi
  • 3.2 Calcolo dei poteri negativi
• 4 riferimenti

Qual è il teorema di Moivre?

Il teorema di Moivre afferma quanto segue:

Se hai un numero complesso nella forma polare z = r_Ɵ, dove r è il modulo del numero complesso z, e l'angolo Ɵ è chiamato l'ampiezza o l'argomento di qualsiasi numero complesso con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, per calcolare la sua ennesima potenza non sarà necessario moltiplicarlo per se stesso n-volte; cioè, non è necessario creare il seguente prodotto:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ n-volte.

Al contrario, il teorema dice che, quando si scrive z nella sua forma trigonometrica, per calcolare l'ennesima potenza, procedere come segue:

Se z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) quindi zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Ad esempio, se n = 2, quindi z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Se hai n = 3, allora z³ = z² _* z. Inoltre:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

In questo modo, i rapporti trigonometrici del seno e del coseno possono essere ottenuti per multipli di un angolo, purché siano noti i rapporti trigonometrici dell'angolo.

Allo stesso modo può essere usato per trovare espressioni più precise e meno confuse per l'ennesima radice di un numero complesso z, così che zⁿ = 1.

Per dimostrare il teorema di Moivre, si usa il principio dell'induzione matematica: se un intero "a" ha una proprietà "P", e se per qualsiasi numero intero "n" maggiore di "a" che ha la proprietà "P" è soddisfa che n + 1 ha anche la proprietà "P", quindi tutti gli interi maggiori o uguali a "a" hanno la proprietà "P".

spettacolo

In questo modo, la dimostrazione del teorema viene eseguita con i seguenti passaggi:

Base induttiva

Prima viene controllato per n = 1.

Come z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], abbiamo che per n = 1 il teorema è soddisfatto.

Ipotesi induttiva

Si presume che la formula sia vera per alcuni numeri interi positivi, ovvero n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

analisi

È dimostrato che è vero per n = k + 1.

Come z^{k + 1}= z^k _* z, quindi z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Quindi le espressioni si moltiplicano:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Per un momento il fattore r viene ignorato^{k + 1}e il fattore comune I viene rimosso:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Come io² = -1, lo sostituiamo nell'espressione e otteniamo:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Ora la parte reale e quella immaginaria sono ordinate:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

Per semplificare l'espressione, vengono applicate le identità trigonometriche della somma degli angoli per il coseno e il peccato, che sono:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

peccato (A + B) = peccato A _* cos B - cos A _* cos B.

In questo caso, le variabili sono gli angoli Ɵ e kƟ. Applicando le identità trigonometriche, abbiamo:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

In questo modo, l'espressione rimane:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* peccato [(k +1) Ɵ]).

Quindi potrebbe essere mostrato che il risultato è vero per n = k + 1. Secondo il principio dell'induzione matematica, si conclude che il risultato è vero per tutti gli interi positivi; cioè, n ≥ 1.

Numero intero negativo

Il teorema di Moivre viene applicato anche quando n ≤ 0. Si consideri un numero intero negativo "n"; allora "n" può essere scritto come "-m", cioè n = -m, dove "m" è un numero intero positivo. pertanto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Per ottenere l'esponente "m" in modo positivo, l'espressione è scritta al contrario:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Ora, si usa che se z = a + b * i è un numero complesso, allora 1 ÷ z = a-b * i. pertanto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Usando cos (x) = cos (-x) e quello -sen (x) = sin (-x), dobbiamo:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* peccato (nƟ).

In questo modo, possiamo dire che il teorema si applica a tutti i valori interi di "n".

Esercizi risolti

Calcolo dei poteri positivi

Una delle operazioni con numeri complessi nella sua forma polare è la moltiplicazione tra due di questi; in tal caso i moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti.

Se hai due numeri complessi z₁ e z₂ e vuoi calcolare (z₁* z₂)², quindi procedere come segue:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + io _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + io _* sen Ɵ₂)]

La proprietà distributiva è applicata:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + io _* cos Ɵ_1* io _* sen Ɵ₂ + io _* sen Ɵ_1* cos Ɵ₂ + io²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂).

Sono raggruppati, prendendo il termine "i" come un fattore comune di espressioni:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Come io² = -1, è sostituito nell'espressione:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

I termini reali sono raggruppati con reali e immaginari con immaginari:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂)]

Infine, vengono applicate le proprietà trigonometriche:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

In conclusione:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= r₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Esercizio 1

Scrivi il numero complesso in forma polare se z = - 2 -2i. Quindi, usando il teorema di Moivre, calcola z⁴.

soluzione

Il numero complesso z = -2 -2i è espresso nella forma rettangolare z = a + bi, dove:

a = -2.

b = -2

Sapendo che la forma polare è z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), è necessario determinare il valore del modulo "r" e il valore dell'argomento "Ɵ". Come r = √ (a² + b²), i valori dati vengono sostituiti:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Quindi, per determinare il valore di "Ɵ", viene applicata la forma rettangolare di questo, che è data dalla formula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Dato che tan (Ɵ) = 1 e devi <0, allora devi:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Poiché il valore di "r" e "Ɵ" è già stato ottenuto, il numero complesso z = -2 -2i può essere espresso nella forma polare sostituendo i valori:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Ora il teorema di Moivre è usato per calcolare z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Esercizio 2

Trova il prodotto di numeri complessi esprimendolo nella sua forma polare:

z1 = 4 (cos 50^o + io_* 50 sen^o)

Z2 = 7 (cos 100^o + io_* 100 sen^o).

Quindi, calcolare (z1 * z2) ².

soluzione

Prima viene formato il prodotto dei numeri indicati:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + io_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + io_* 100 sen^o)]

Quindi i moduli vengono moltiplicati insieme e gli argomenti vengono aggiunti:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

L'espressione è semplificata:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Infine, viene applicato il teorema di Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300^o + (i_* 300 sen^o)).

Calcolo dei poteri negativi

Per dividere due numeri complessi z₁ e z₂ nella sua forma polare, il modulo è diviso e gli argomenti vengono sottratti. Quindi, il quoziente è z₁ ÷ z₂ ed è espresso come segue:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Come nel caso precedente, se si desidera calcolare (z1 ÷ z2) ³ prima viene effettuata la divisione e quindi viene utilizzato il teorema di Moivre.

Esercizio 3

data:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calcolare (z1 ÷ z2) ³.

soluzione

Seguendo i passaggi sopra descritti, si può concludere che:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

riferimenti

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Dal teorema di Moivre per le identità Trig. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra e trigonometria
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Algebra lineare Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.