Caratteristiche del metodo assiomatico, passi, esempi



il metodo assiomatico o anche chiamato Axiomatics è una procedura formale utilizzata dalle scienze per mezzo delle quali vengono formulate affermazioni o proposizioni chiamate assiomi, collegate tra loro da una relazione di deducibilità e che sono alla base dell'ipotesi o delle condizioni di un determinato sistema.

Questa definizione generale deve essere inquadrata nell'evoluzione che questa metodologia ha avuto nel corso della storia. Primo, c'è un antico metodo o contenuto, nato nell'antica Grecia da Euclide e successivamente sviluppato da Aristotele.

In secondo luogo, già nel diciannovesimo secolo, l'aspetto di una geometria con assiomi diversi da quelli di Euclide. E infine, il metodo assiomatico formale o moderno, il cui massimo esponente era David Hilbert.

Oltre al suo sviluppo nel tempo, questa procedura è stata la base del metodo deduttivo utilizzato nella geometria e nella logica in cui è stato originato. È stato anche usato in fisica, chimica e biologia.

Ed è stato persino applicato alla scienza giuridica, alla sociologia e all'economia politica. Tuttavia, attualmente la sua sfera di applicazione più importante è la matematica e la logica simbolica e alcuni rami della fisica come la termodinamica, la meccanica e altre discipline.

indice

  • 1 caratteristiche
    • 1.1 Vecchio metodo o contenuto assiomatico
    • 1.2 Metodo assiomatico non euclideo
    • 1.3 Metodo assiomatico moderno o formale
  • 2 passaggi
  • 3 esempi
  • 4 riferimenti

lineamenti 

Sebbene la caratteristica fondamentale di questo metodo sia la formulazione degli assiomi, questi non sono sempre stati considerati allo stesso modo.

Ce ne sono alcuni che possono essere definiti e costruiti in modo arbitrario. E altri, secondo un modello in cui viene considerata la sua verità intuitivamente garantita.

Per comprendere in modo specifico in cosa consiste questa differenza e le sue conseguenze, è necessario rivedere l'evoluzione di questo metodo.

Vecchio metodo o contenuto assiomatico

È quello stabilito nell'antica Grecia intorno al V secolo aC. La sua sfera di applicazione è la geometria. L'opera fondamentale di questo stadio è gli Elementi di Euclide, anche se si ritiene che prima di lui, Pitagora, avesse già dato origine al metodo assiomatico.

Così i greci prendono certi fatti come assiomi, senza richiedere alcuna prova logica, cioè senza bisogno di dimostrazione, poiché per loro sono una verità evidente.

Da parte sua Euclides presenta cinque assiomi per la geometria:

1: dati due punti, c'è una linea che li contiene o li unisce.

2-Qualsiasi segmento può essere continuato in modo continuo su una linea illimitata su entrambi i lati.

3: puoi disegnare un cerchio che ha un centro in qualsiasi punto e qualsiasi raggio.

4 angoli retti sono tutti uguali.

5-Prendendo qualsiasi linea retta e qualsiasi punto che non ci sia, c'è una linea retta parallela a quella e che contiene quel punto. Questo assioma è conosciuto, in seguito, come l'assioma dei paralleli ed è stato enunciato anche come: da un punto esterno a una linea si può tracciare un singolo parallelo.

Tuttavia, sia Euclide che i matematici successivi, concordano sul fatto che il quinto assioma non è intuitivamente chiaro come l'altro 4. Anche durante il Rinascimento si cerca di dedurre il quinto degli altri 4, ma non è possibile.

Ciò fece sì che già nel diciannovesimo secolo coloro che sostenevano i cinque fossero sostenitori della geometria euclidea e quelli che negarono il quinto furono quelli che crearono le geometrie non euclidee.

Metodo assiomatico non euclideo

Sono proprio Nikolaj Ivanovic Lobachevski, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss che vedono la possibilità di costruire, senza contraddizioni, una geometria che proviene da sistemi di assiomi diversi da quelli di Euclide. Questo distrugge la credenza nella verità assoluta o a priori degli assiomi e delle teorie che ne derivano.

Pertanto, gli assiomi cominciano a essere concepiti come punti di partenza di una determinata teoria. Inoltre, sia la loro scelta che il problema della loro validità in un modo o nell'altro iniziano a essere correlati a fatti al di fuori della teoria assiomatica.

In questo modo appaiono teorie geometriche, algebriche e aritmetiche costruite con il metodo assiomatico.

Questo stadio culmina con la creazione di sistemi assiomatici per l'aritmetica come quella di Giuseppe Peano nel 1891; la geometria di David Hubert nel 1899; le dichiarazioni e i calcoli preliminari di Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, in Inghilterra nel 1910; la teoria assiomatica dei set di Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo nel 1908.

Metodo assiomatico moderno o formale

È David Hubert che inizia la concezione di un metodo assiomatico formale e che porta al suo culmine, David Hilbert.

È proprio Hilbert a formalizzare il linguaggio scientifico, considerando le sue affermazioni come formule o sequenze di segni che non hanno alcun significato in se stessi. Acquisiscono significato solo in una certa interpretazione.

In "Le basi della geometria"Spiega il primo esempio di questa metodologia.Da qui la geometria diventa una scienza dalle conseguenze logiche pure, che sono estratte da un sistema di ipotesi o assiomi, meglio articolate del sistema euclideo.

Questo perché nel vecchio sistema la teoria assiomatica si basa sull'evidenza degli assiomi. Mentre il fondamento della teoria formale è dato dalla dimostrazione della non contraddizione dei suoi assiomi.

passaggi 

La procedura che esegue una strutturazione assiomatica all'interno delle teorie scientifiche riconosce:

a: la scelta di un certo numero di assiomi, cioè un numero di proposizioni di una certa teoria accettate senza necessità di essere dimostrate.

b-i concetti che fanno parte di queste proposizioni non sono determinati all'interno della struttura della teoria data.

c-le regole di definizione e deduzione della teoria data sono fisse e permettono di introdurre nuovi concetti all'interno della teoria e dedurre logicamente alcune proposizioni dagli altri.

d-le altre proposizioni della teoria, cioè il teorema, sono dedotte da una sulla base di c.

Esempi

Questo metodo può essere verificato attraverso la dimostrazione dei due più famosi teoremi di Euclide: il teorema delle gambe e il teorema dell'altezza.

Entrambi derivano dall'osservazione di questo geometrista greco che quando l'altezza è tracciata rispetto all'ipotenusa all'interno di un triangolo rettangolo, due triangoli appaiono più dell'originale. Questi triangoli sono simili tra loro e allo stesso tempo simili al triangolo di origine. Ciò presuppone che i loro rispettivi lati omologhi siano proporzionali.

Si può vedere che gli angoli congruenti nei triangoli in questo modo verificano la somiglianza che esiste tra i tre triangoli coinvolti secondo il criterio di somiglianza AAA. Questo criterio sostiene che quando due triangoli hanno tutti i loro angoli uguali sono simili.

Una volta dimostrato che i triangoli sono simili, è possibile stabilire le proporzioni specificate nel primo teorema. Essa afferma che in un triangolo rettangolo, la misura di ogni gamba è una media proporzionale geometrica tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto in essa.

Il secondo teorema è quello dell'altezza. Specifica che qualsiasi triangolo rettangolo l'altezza che viene disegnata secondo l'ipotenusa è una media proporzionale geometrica tra i segmenti che sono determinati da questa media geometrica sull'ipotenusa.

Naturalmente entrambi i teoremi hanno numerose applicazioni in tutto il mondo non solo nel campo dell'istruzione, ma anche in ingegneria, fisica, chimica e astronomia.

riferimenti

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismo e intuizione: David Hilbert e il metodo assiomatico formale (1895-1905). Philosophy Magazine, Vol. 39 Núm. 2, pp.121-146. Tratto da revistas.ucm.es.
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