Tecniche di analisi dimensionale, principio di omogeneità ed esercizi

il analisi dimensionale è uno strumento ampiamente utilizzato in diversi rami della scienza e dell'ingegneria per comprendere meglio i fenomeni che comportano la presenza di diverse grandezze fisiche. Le grandezze hanno dimensioni e da queste derivano le diverse unità di misura.

L'origine del concetto di dimensione si trova nel matematico francese Joseph Fourier, che lo ha coniato. Fourier ha anche capito che, per essere comparabili per due equazioni, esse devono essere omogenee in termini di dimensioni. Cioè, non puoi aggiungere metri con chilogrammi.

Pertanto, l'analisi dimensionale è responsabile dello studio delle grandezze, dimensioni e omogeneità delle equazioni fisiche. Per questo motivo viene spesso utilizzato per controllare relazioni e calcoli o per costruire ipotesi su domande complicate che possono essere successivamente testate sperimentalmente.

In questo modo, l'analisi dimensionale è uno strumento perfetto per rilevare errori nei calcoli quando si verifica la congruenza o l'incongruenza delle unità utilizzate in essi, concentrandosi in particolare sulle unità dei risultati finali.

Inoltre, l'analisi dimensionale viene utilizzata per progettare esperimenti sistematici. Permette di ridurre il numero di esperimenti necessari, nonché di facilitare l'interpretazione dei risultati ottenuti.

Una delle basi fondamentali dell'analisi dimensionale è che è possibile rappresentare qualsiasi quantità fisica come un prodotto dei poteri di una quantità minore, nota come quantità fondamentali da cui derivano gli altri.

indice

• 1 Magnitudini fondamentali e formula dimensionale
• 2 tecniche di analisi dimensionale
  • 2.1 Metodo Rayleigh
  • 2.2 Metodo Buckingham
• 3 Principio di omogeneità dimensionale
  • 3.1 Principio di somiglianza
• 4 applicazioni
• 5 esercizi risolti
  • 5.1 Primo esercizio
  • 5.2 Secondo esercizio
• 6 riferimenti

Magnitudini fondamentali e formula dimensionale

In fisica, le grandezze fondamentali sono considerate quelle che consentono ad altri di esprimersi in termini di questi. Per convenzione, sono stati scelti: lunghezza (L), tempo (T), massa (M), intensità di corrente elettrica (I), temperatura (θ), intensità luminosa (J) e quantità di sostanza (N).

Al contrario, il resto è considerato come quantità derivate. Alcuni di questi sono: l'area, il volume, la densità, la velocità, l'accelerazione, tra gli altri.

È definita come una formula dimensionale all'uguaglianza matematica che presenta la relazione che si verifica tra una quantità derivata e le fondamentali.

Tecniche di analisi dimensionale

Esistono diverse tecniche o metodi di analisi dimensionale. Due dei più importanti sono i seguenti:

Metodo Rayleigh

Rayleigh, che era accanto a Fourier, uno dei precursori dell'analisi dimensionale, ha sviluppato un metodo diretto e molto semplice che consente di ottenere elementi adimensionali. In questo metodo sono seguiti i seguenti passi:

1- La funzione di carattere potenziale della variabile dipendente è definita.

2- Ogni variabile viene modificata dalle sue dimensioni corrispondenti.

3- Le equazioni della condizione di omogeneità sono stabilite.

4- Le incognite n-p sono fisse.

5- Sostituire gli esponenti che sono stati calcolati e fissati nell'equazione potenziale.

6- Spostare i gruppi di variabili per definire i numeri adimensionali.

Metodo di Buckingham

Questo metodo si basa sul teorema di Buckingham o teorema pi, che afferma quanto segue:

Se esiste una relazione a livello dimensionale omogeneo tra un numero "n" di magnitudini fisiche o variabili in cui appaiono "p" diverse dimensioni fondamentali, esiste anche una relazione di omogeneità tra n-p, gruppi adimensionali indipendenti.

Principio di omogeneità dimensionale

Il principio di Fourier, noto anche come il principio dell'omogeneità dimensionale, influenza la corretta strutturazione delle espressioni che collegano algebricamente le grandezze fisiche.

È un principio che ha consistenza matematica e afferma che l'unica opzione è quella di sottrarre o sommare le grandezze fisiche che sono della stessa natura. Pertanto, non è possibile aggiungere una massa con una lunghezza o un tempo con una superficie, ecc.

Allo stesso modo, il principio afferma che, affinché le equazioni fisiche siano corrette a livello dimensionale, i termini totali dei membri delle due parti dell'uguaglianza devono avere la stessa dimensione. Questo principio consente di garantire la coerenza delle equazioni fisiche.

Principio di somiglianza

Il principio di similarità è un'estensione del carattere di omogeneità dimensionale delle equazioni fisiche. È dichiarato come segue:

Le leggi fisiche rimangono invariate di fronte al cambiamento delle dimensioni (dimensioni) di un fatto fisico nello stesso sistema di unità, sia che si tratti di cambiamenti di un personaggio reale o immaginario.

L'applicazione più chiara del principio di similarità è data nell'analisi delle proprietà fisiche di un modello realizzato su scala più piccola, per utilizzare successivamente i risultati nell'oggetto a dimensioni reali.

Questa pratica è fondamentale in campi come la progettazione e la fabbricazione di aerei e navi e in grandi opere idrauliche.

applicazioni

Tra le molte applicazioni di analisi dimensionale possiamo evidenziare quelle elencate di seguito.

- Individua possibili errori nelle operazioni eseguite

- Risolvere i problemi la cui risoluzione presenta alcune difficoltà matematiche insormontabili.

- Progetta e analizza modelli su scala ridotta.

- Fare osservazioni su come le possibili modifiche influenzano un modello.

Inoltre, l'analisi dimensionale viene utilizzata abbastanza frequentemente nello studio della meccanica dei fluidi.

La rilevanza dell'analisi dimensionale nella meccanica dei fluidi è dovuta alla difficoltà di stabilire equazioni in determinati flussi e alla difficoltà a risolverli, quindi è impossibile ottenere relazioni empiriche. Per questo motivo è necessario ricorrere al metodo sperimentale.

Esercizi risolti

Primo esercizio

Trova l'equazione dimensionale della velocità e dell'accelerazione.

soluzione

Poiché v = s / t, è vero che: [v] = L / T = L ∙ T^-1

Allo stesso modo:

a = v / t

[a] = L / T² = L ∙ T^-2

Secondo esercizio

Determina l'equazione dimensionale della quantità di movimento.

soluzione

Poiché la quantità di moto è il prodotto tra massa e velocità, è soddisfatto che p = m ∙ v

pertanto:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

riferimenti

1. Analisi dimensionale (n.d.). In Wikipedia Estratto il 19 maggio 2018 da es.wikipedia.org.
2. Analisi dimensionale (n.d.). In Wikipedia Estratto il 19 maggio 2018 da en.wikipedia.org.
3. Langhaar, H. L. (1951),Analisi dimensionale e teoria dei modelliWiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005).Fisica e Chimica. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002).Comprensione fisica. Birkhäuser.