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Calcolo di approssimazioni utilizzando il differenziale
Un'approssimazione in matematica è un numero che non è il valore esatto di qualcosa, ma è così vicino che è considerato utile quanto quel valore esatto.
Quando le approssimazioni sono fatte in matematica, è perché manualmente è difficile (o talvolta impossibile) conoscere il valore preciso di ciò che si vuole.
Lo strumento principale quando si lavora con approssimazioni è il differenziale di una funzione.
Il differenziale di una funzione f, indicato con Δf (x), non è altro che la derivata della funzione f moltiplicata per il cambiamento nella variabile indipendente, cioè, Δf (x) = f '(x) * Δx.
A volte si usano df e dx invece di Δf e Δx.
Approssimazioni usando il differenziale
La formula che viene applicata per fare un'approssimazione attraverso il differenziale nasce proprio dalla definizione della derivata di una funzione come limite.
Questa formula è data da:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.
Qui si intende che Δx = x-x0, quindi, x = x0 + Δx. Usando questo la formula può essere riscritta come
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.
Va notato che "x0" non è un valore arbitrario, ma è un valore tale che f (x0) è facilmente noto; Inoltre, "f (x)" è solo il valore che vogliamo approssimare.
Ci sono approcci migliori?
La risposta è sì La precedente è la più semplice delle approssimazioni chiamate "approssimazione lineare".
Per una migliore approssimazione della qualità (l'errore è minore) vengono utilizzati polinomi con più derivati chiamati "polinomi di Taylor", così come altri metodi numerici come il metodo Newton-Raphson, tra gli altri.
strategia
La strategia da seguire è:
- Scegliere una funzione appropriata f per eseguire l'approssimazione e il valore "x" tale che f (x) sia il valore da approssimare.
- Scegli un valore "x0", vicino a "x", in modo che f (x0) sia facile da calcolare.
- Calcola Δx = x-x0.
- Calcola la derivata della funzione e f '(x0).
- Sostituisci i dati nella formula.
Esercizi di approssimazione risolti
In quello che continua c'è una serie di esercizi in cui le approssimazioni sono fatte usando il differenziale.
Primo esercizio
Circa √3.
soluzione
Seguendo la strategia, deve essere scelta una funzione appropriata. In questo caso si può vedere che la funzione da scegliere deve essere f (x) = √x e il valore approssimato è f (3) = √3.
Ora dobbiamo scegliere un valore "x0" vicino a "3" in modo che f (x0) sia facile da calcolare. Se si sceglie "x0 = 2" si ha che "x0" è vicino a "3" ma f (x0) = f (2) = √2 non è facile da calcolare.
Il valore di "x0" che è conveniente è "4", perché "4" è vicino a "3" e anche f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Se "x = 3" e "x0 = 4", allora Δx = 3-4 = -1. Ora procediamo a calcolare la derivata di f. Cioè, f '(x) = 1/2 * √x, così che f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Sostituendo tutti i valori nella formula ottieni:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.
Se si utilizza una calcolatrice, si ottiene che √3≈1.73205 ... Questo mostra che il risultato precedente è una buona approssimazione del valore reale.
Secondo esercizio
Circa √10.
soluzione
Come prima, viene scelto come funzione f (x) = √x e in questo caso x = 10.
Il valore di x0 che deve essere scelto in questo momento è "x0 = 9". Abbiamo quindi Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 e f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Quando si valuta nella formula si ottiene quello
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...
Usando una calcolatrice ottieni √10 ≈ 3.1622776 ... Qui puoi anche vedere che una buona approssimazione è stata ottenuta prima.
Terzo esercizio
Approssimativo ³√10, dove ³√ indica la radice cubica.
soluzione
Chiaramente la funzione che dovrebbe essere usata in questo esercizio è f (x) = ³√x e il valore di "x" deve essere "10".
Un valore vicino a "10" tale che la sua radice cubica sia nota è "x0 = 8". Allora abbiamo che Δx = 10-8 = 2 ep (x0) = f (8) = 2. Abbiamo anche che f '(x) = 1/3 * ³√x², e di conseguenza f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Sostituendo i dati nella formula si ottiene che:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....
La calcolatrice dice che √10 ≈ 2.15443469 ... Pertanto, l'approssimazione trovata è buona.
Quarto esercizio
Approxime ln (1.3), dove "ln" indica la funzione del logaritmo naturale.
soluzione
Innanzitutto, viene scelta la funzione f (x) = ln (x) e il valore di "x" è 1.3. Ora, conoscendo un po 'la funzione del logaritmo, possiamo sapere che ln (1) = 0, e anche "1" è vicino a "1.3".Pertanto, "x0 = 1" è scelto e quindi Δx = 1,3 - 1 = 0,3.
D'altra parte f '(x) = 1 / x, così che f' (1) = 1. Nel valutare la formula indicata devi:
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.
Quando si usa una calcolatrice, si deve ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Quindi l'approssimazione fatta è buona.
riferimenti
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