Metodo di divisione sintetica e esercizi risolti

il divisione sintetica è un modo semplice per dividere un polinomio P (x) con uno qualsiasi della forma d (x) = x - c. È uno strumento molto utile poiché, oltre a permetterci di dividere polinomi, ci consente anche di valutare un polinomio P (x) in qualsiasi numero c, che a sua volta ci dice precisamente se questo numero è zero o no del polinomio.

Grazie all'algoritmo di divisione, sappiamo che se abbiamo due polinomi P (x) e d (x) non costante, ci sono polinomi q (x) e r (x) unico tale che è vero che P (x) = q (x) d (x) + r (x), dove r (x) è zero o minore di q (x). Questi polinomi sono noti come quoziente e residuo o resto rispettivamente.

In occasioni in cui il polinomio d (x) è della forma x-c, la divisione sintetica ci dà un modo breve per trovare chi sono q (x) ed r (x).

indice

• 1 metodo di divisione sintetica
• 2 esercizi risolti
  • 2.1 Esempio 1
  • 2.2 Esempio 2
  • 2.3 Esempio 3
  • 2.4 Esempio 4
• 3 riferimenti

Metodo di divisione sintetica

Sia P (x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀ il polinomio che vogliamo dividere e d (x) = x-c il divisore. Per dividere per il metodo di divisione sintetica procediamo come segue:

1- Scriviamo i coefficienti di P (x) nella prima riga. Se nessuna potenza di X non appare, mettiamo zero come coefficiente.

2- Nella seconda fila, a sinistra di a_n posiziona c e disegna le linee di divisione come mostrato nella figura seguente:

3- Abbassiamo il coefficiente principale nella terza fila.

In questa espressione b_n-1= a_n

4- Moltiplichiamo c per il coefficiente principale b_n-1 e il risultato è scritto nella seconda riga, ma una colonna a destra.

5- Aggiungiamo la colonna in cui abbiamo scritto il risultato precedente e il risultato lo abbiamo messo sotto quella somma; cioè nella stessa colonna, terza riga.

Quando aggiungiamo, abbiamo come risultato_n-1+ c * b_n-1, che per comodità chiameremo b_n-2

6- Moltiplichiamo c per il risultato precedente e scriviamo il risultato alla sua destra nella seconda fila.

7- Ripetiamo i passaggi 5 e 6 fino a raggiungere il coefficiente a₀.

8- Scrivi la risposta; cioè, il quoziente e il residuo. Dato che stiamo facendo la divisione di un polinomio di grado n tra un polinomio di grado 1, abbiamo il quoziente serio di grado n-1.

I coefficienti del quoziente polinomiale saranno i numeri della terza riga tranne l'ultimo, che sarà il polinomio residuo o il resto della divisione.

Esercizi risolti

Esempio 1

Eseguire la seguente divisione per il metodo di divisione sintetica:

(x⁵+ 3x⁴-7x³+ 2x²-8x + 1): (x + 1).

soluzione

Per prima cosa scriviamo i coefficienti dei dividendi come segue:

Quindi scriviamo c sul lato sinistro, nella seconda fila, insieme alle linee di divisione. In questo esempio c = -1.

Abbassiamo il coefficiente principale (in questo caso b_n-1 = 1) e moltiplicalo per -1:

Scriviamo il risultato a destra nella seconda riga, come mostrato di seguito:

Aggiungiamo i numeri nella seconda colonna:

Moltiplichiamo 2 per -1 e scriviamo il risultato nella terza colonna, seconda riga:

Aggiungiamo nella terza colonna:

Procediamo in modo analogo finché non raggiungiamo l'ultima colonna:

Quindi, abbiamo che l'ultimo numero ottenuto è il resto della divisione, e i numeri rimanenti sono i coefficienti del polinomio quoziente. Questo è scritto come segue:

Se vogliamo verificare che il risultato sia corretto, è sufficiente verificare che la seguente equazione sia soddisfatta:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

In questo modo possiamo verificare che il risultato ottenuto sia corretto.

Esempio 2

Eseguire la seguente divisione di polinomi mediante il metodo di divisione sintetica

(7x³-x + 2): (x + 2)

soluzione

In questo caso abbiamo il termine x² non appare, quindi scriveremo 0 come coefficiente. Quindi, il polinomio sarebbe come 7x³+ 0x²-x + 2

Scriviamo i loro coefficienti di seguito, questo è:

Scrivi il valore di C = -2 sul lato sinistro nella seconda riga e disegna le linee di divisione.

Abbassiamo il coefficiente principale b_n-1 = 7 e moltiplicarlo per -2, scrivendo il risultato nella seconda riga a destra.

Aggiungiamo e procediamo come spiegato in precedenza, fino al raggiungimento dell'ultimo termine:

In questo caso, il resto è r (x) = - 52 e il quoziente ottenuto è q (x) = 7x²-14x + 27

Esempio 3

Un altro modo di usare la divisione sintetica è il seguente: supponiamo di avere un polinomio P (x) di grado n e vogliamo sapere qual è il valore quando lo valutiamo in x = c.

Con l'algoritmo della divisione abbiamo che possiamo scrivere il polinomio P (x) nel modo seguente:

In questa espressione q (x) ed r (x) sono rispettivamente il quoziente e il resto. Ora, se d (x) = x- c, quando si valuta in c nel polinomio troviamo quanto segue:

Per questo motivo abbiamo solo bisogno di trovare r (x), e questo possiamo fare grazie alla divisione sintetica.

Ad esempio, abbiamo il polinomio P (x) = x⁷-9x⁶+ 19x⁵+ 12x⁴-3x³+ 19x²-37x-37 e vogliamo sapere qual è il suo valore quando lo valuta in x = 5.Per fare ciò eseguiamo la divisione tra P (x) e d (x) = x -5 per il metodo di divisione sintetica:

Una volta terminate le operazioni, sappiamo che possiamo scrivere P (x) nel seguente modo:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ + 32x² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Pertanto, quando lo valutiamo dobbiamo:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Come possiamo vedere, è possibile utilizzare la divisione sintetica per trovare il valore di un polinomio quando lo si valuta in c invece di sostituire semplicemente c con x.

Se provassimo a valutare P (5) nel modo tradizionale, dovremmo fare alcuni calcoli che tendono a diventare tediosi.

Esempio 4

L'algoritmo di divisione per i polinomi è anche vero per i polinomi con coefficienti complessi e, di conseguenza, abbiamo che il metodo di divisione sintetica funziona anche per questi polinomi. Prossimo vedremo un esempio.

Useremo il metodo di divisione sintetica per mostrare che z = 1+ 2i è uno zero del polinomio P (x) = x³+ (1 + i) x² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); cioè, il resto della divisione P (x) tra d (x) = x - z è uguale a zero.

Procediamo come prima: nella prima riga scriviamo i coefficienti di P (x), poi nel secondo scriviamo z e disegniamo le linee di divisione.

Abbiamo fatto la divisione come prima; questo è:

Possiamo vedere che il residuo è zero; quindi, concludiamo che, z = 1+ 2i è uno zero di P (x).

riferimenti

1. Baldor Aurelio. algebra. Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley e Kennedy. Precalcolo: grafico, numerico, algebrico 7 Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra e Trigonometria con geometria analitica. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus 4 ° ed. Pearson Education.
5. Red. Armando O. Algebra 1 Sesto ed. L'Ateneo