Casi ed esempi di frazioni parziali



il frazioni parziali sono frazioni formate da polinomi, in cui il denominatore può essere un polinomiale lineare o quadratico e, in aggiunta, può essere elevato a qualche potenza. A volte, quando abbiamo funzioni razionali, è molto utile riscrivere questa funzione come somma di frazioni parziali o frazioni semplici.

Questo perché in questo modo possiamo manipolare queste funzioni in un modo migliore, specialmente in quei casi in cui è necessario integrare questa applicazione. Una funzione razionale è semplicemente il quoziente tra due polinomi e può essere corretta o impropria.

Se il grado del polinomio del numeratore è inferiore al denominatore, è chiamato la sua funzione razionale; altrimenti, è noto come una funzione razionale impropria.

indice

  • 1 Definizione
  • 2 casi
    • 2.1 Caso 1
    • 2.2 Caso 2
    • 2.3 Caso 3
    • 2.4 Caso 4
  • 3 applicazioni
    • 3.1 Calcolo completo
    • 3.2 Legge sull'azione di massa
    • 3.3 Equazioni differenziali: equazione logistica
  • 4 riferimenti

definizione

Quando abbiamo una funzione razionale impropria, possiamo dividere il numeratore polinomio dal polinomio denominatore e quindi riscrivere la frazione p (x) / q (x) seguendo l'algoritmo divisione come t (x) + s (x) / q (x), dove t (x) è un polinomio e s (x) / q (x) è una sua funzione razionale.

Una frazione parziale è una funzione propria dei polinomi, il cui denominatore è della forma (ax + b)n o (ax2+ bx + c)n, se l'ascia polinomiale2 + bx + c non ha radici reali e n è un numero naturale.

Per riscrivere una funzione razionale nelle frazioni parziali, la prima cosa da fare è considerare il denominatore q (x) come un prodotto di fattori lineari e / o quadratici. Una volta fatto, vengono determinate le frazioni parziali, che dipendono dalla natura di detti fattori.

casi

Consideriamo diversi casi separatamente.

Caso 1

I fattori di q (x) sono tutti lineari e nessuno è ripetuto. Quello è:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Lì, nessun fattore lineare è identico a un altro. Quando si verifica questo caso, scriveremo:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Dove A1, A2, ..., As sono le costanti che vuoi trovare.

esempio

Vogliamo scomporre la funzione razionale in semplici frazioni:

(x - 1) / (x3+ 3x2+ 2x)

Procediamo a scomporre il denominatore, cioè:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

allora:

(x - 1) / (x3+ 3x2+ 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Applicando un minimo comune multiplo, puoi ottenere che:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vogliamo ottenere i valori delle costanti A, B e C, che possono essere trovati sostituendo le radici che annullano ciascuno dei termini. Sostituendo 0 per x abbiamo:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Sostituendo - 1 per x abbiamo:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2

Sostituendo - 2 per x abbiamo:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

In questo modo, si ottengono i valori A = -1/2, B = 2 e C = -3/2.

V'è un altro metodo per ottenere i valori di A, B e C. Se sul lato destro dell'equazione x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x combiniamo i termini, abbiamo:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Poiché questa è un'uguaglianza di polinomi, abbiamo che i coefficienti del lato sinistro devono essere uguali a quelli del lato destro. Ciò risulta nel seguente sistema di equazioni:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Quando risolviamo questo sistema di equazioni, otteniamo i risultati A = -1/2, B = 2 e C = -3/2.

Infine, sostituendo i valori ottenuti dobbiamo:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Caso 2

I fattori di q (x) sono tutti lineari e alcuni sono ripetuti. Supponiamo che (ax + b) sia un fattore che viene ripetuto "s" volte; quindi, a questo fattore corrisponde la somma delle frazioni parziali "s".

las/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 + ... + A1/ (ax + b).

Dove l'As, As-1, ..., A1 sono le costanti da determinare. Con il seguente esempio mostreremo come determinare queste costanti.

esempio

Decomponete in frazioni parziali:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Scriviamo la funzione razionale come somma di frazioni parziali come segue:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

allora:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Sostituendo 2 per x, dobbiamo:

7 = 4C, cioè C = 7/4.

Sostituendo 0 per x abbiamo:

- 1 = -8A o A = 1/8.

Sostituendo questi valori nell'equazione precedente e sviluppando, dobbiamo:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6 volte2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6 volte2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 + Dx3 - 2Dx2 + Es2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 + (3/2 - 8B) x - 1.

Coefficienti equivalenti, otteniamo il seguente sistema di equazioni:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Risolvendo il sistema, abbiamo:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Per questo motivo, dobbiamo:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Caso 3

I fattori di q (x) sono quadratici lineari, senza alcun fattore quadratico ripetuto. Per questo caso il fattore quadratico (ax2 + bx + c) corrisponde alla frazione parziale (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), dove le costanti A e B sono quelle da determinare.

L'esempio seguente mostra come procedere in questo caso

esempio

Si decompone in frazioni semplici a (x + 1) / (x3 - 1).

Per prima cosa procediamo a calcolare il denominatore, che ci dà come risultato:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Possiamo vedere quello (x2 + x + 1) è un polinomio quadratico irriducibile; cioè, non ha radici reali. La sua decomposizione in frazioni parziali sarà la seguente:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Da ciò otteniamo la seguente equazione:

x + 1 = (A + B) x2 + (A - B + C) x + (A - C)

Usando l'uguaglianza dei polinomi, otteniamo il seguente sistema:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Da questo sistema abbiamo A = 2/3, B = - 2/3 e C = 1/3. Sostituendo, dobbiamo:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1)

Caso 4

Infine, il caso 4 è uno in cui i fattori di q (x) sono lineari e quadratici, dove alcuni dei fattori quadratici lineari vengono ripetuti.

In questo caso, se (ax2 + bx + c) è un fattore quadratico che viene ripetuto "s" volte, quindi la frazione parziale corrispondente al fattore (ax)2 + bx + c) sarà:

(A1x + B) / (ax2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (ascia)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (ascia)2 + bx + c)s

Dove l'As, As-1, ..., A e Bs, Bs-1, ..., B sono le costanti che vuoi determinare.

esempio

Vogliamo suddividere la seguente funzione razionale in frazioni parziali:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Come x2 - 4x + 5 è un fattore quadratico irriducibile, abbiamo che la sua decomposizione in frazioni parziali è data da:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Semplificando e sviluppando, abbiamo:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Da quanto sopra abbiamo il seguente sistema di equazioni:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Quando risolviamo il sistema, dobbiamo:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ed E = - 3/5.

Quando sostituiamo i valori ottenuti abbiamo:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

applicazioni

Calcolo completo

Le frazioni parziali sono utilizzate principalmente per lo studio del calcolo integrale. Di seguito vedremo alcuni esempi su come realizzare integrali usando le frazioni parziali.

Esempio 1

Vogliamo calcolare l'integrale di:

Possiamo vedere che il denominatore q (x) = (t + 2)2(t + 1) è costituito da fattori lineari in cui una di queste si ripete; questo è il motivo per cui siamo nel caso 2.

Dobbiamo:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Riscriviamo l'equazione e abbiamo:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Se t = - 1, dobbiamo:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Se t = - 2, ci dà:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Quindi, se t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Sostituendo i valori di A e C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Da quanto sopra abbiamo quello B = - 1.

Riscriviamo l'integrale come:

Procediamo a risolverlo con il metodo di sostituzione:

Ciò si traduce in:

Esempio 2

Risolvi il seguente integrale:

In questo caso possiamo calcolare a q (x) = x2 - 4 come q (x) = (x - 2) (x + 2). Chiaramente siamo nel caso 1. Pertanto:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Può anche essere espresso come:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Se x = - 2, abbiamo:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

E se x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Quindi, dobbiamo risolvere l'integrale dato equivale a risolvere:

Questo ci dà come risultato:

Esempio 3

Risolvi l'integrale:

Abbiamo q (x) = 9x4 + x2 , che possiamo calcolare in q (x) = x2(9x2 + 1).

In questa occasione abbiamo un fattore lineare ripetuto e un fattore quadratico; cioè, siamo nel caso 3.

Dobbiamo:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Raggruppando e usando l'uguaglianza dei polinomi, abbiamo:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Da questo sistema di equazioni dobbiamo:

D = - 9 e C = 0

In questo modo, abbiamo:

Risolvendo quanto sopra, abbiamo:

Legge di azione di massa

Un'interessante applicazione delle frazioni parziali applicate al calcolo integrale si trova in chimica, più precisamente nella legge dell'azione di massa.

Supponiamo di avere due sostanze, A e B, che si uniscono e formano una sostanza C, in modo che la derivata della quantità di C rispetto al tempo sia proporzionale al prodotto delle quantità di A e B in un dato momento.

Possiamo esprimere la legge dell'azione di massa come segue:

In questa espressione α è la quantità iniziale di grammi corrispondente ad A e β la quantità iniziale di grammi corrispondente a B.

Inoltre, r e s rappresentano il numero di grammi di A e B rispettivamente che si combinano per formare grammi di R + s di C. Per la sua parte, x rappresenta il numero di grammi di sostanza C al tempo t, e K è il numero Costante di proporzionalità. L'equazione precedente può essere riscritta come:

Effettuare la seguente modifica:

Abbiamo che l'equazione si trasforma in:

Da questa espressione possiamo ottenere:

Dove sì a ≠ b, le frazioni parziali possono essere utilizzate per l'integrazione.

esempio

Prendiamo ad esempio una sostanza C che nasce dalla combinazione di una sostanza A con una B, in modo tale che la legge delle masse sia soddisfatta dove i valori di aeb sono rispettivamente 8 e 6. Dai un'equazione che ci dà il valore di grammi di C in funzione del tempo.

Sostituendo i valori nella legge di massa, abbiamo:

Quando separiamo le variabili abbiamo:

Qui 1 / (8 - x) (6 - x) può essere scritto come somma di frazioni parziali, come segue:

Quindi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Se sostituiamo x per 6, abbiamo che B = 1/2; e sostituendo x per 8, abbiamo A = - 1/2.

Integrando per frazioni parziali abbiamo:

Questo ci dà come risultato:

Equazioni differenziali: equazione logistica

Un'altra applicazione che può essere data alle frazioni parziali è nell'equazione differenziale logistica. Nei modelli semplici abbiamo che il tasso di crescita di una popolazione è proporzionale alla sua dimensione; cioè:

Questo caso è un ideale ed è considerato realistico fino a quando accade che le risorse disponibili in un sistema sono insufficienti per mantenere la popolazione.

In queste situazioni è più ragionevole pensare che ci sia una capacità massima, che chiameremo L, che il sistema può sostenere, e che il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione della popolazione moltiplicata per la dimensione disponibile. Questo argomento porta alla seguente equazione differenziale:

Questa espressione è chiamata equazione differenziale logistica. È un'equazione differenziale separabile che può essere risolta con il metodo di integrazione mediante frazioni parziali.

esempio

Un esempio potrebbe essere considerare una popolazione che cresce in base alla seguente equazione differenziale logistica y '= 0,0004y (1000 - y), i cui dati iniziali sono 400. Vogliamo conoscere la dimensione della popolazione al tempo t = 2, dove t è misurata in anni

Se scriviamo un e 'con la notazione Leibniz come una funzione che dipende da t, dobbiamo:

L'integrale del lato sinistro può essere risolto utilizzando il metodo di integrazione per frazioni parziali:

Quest'ultima uguaglianza può essere riscritta come segue:

- Sostituendo y = 0, abbiamo che A è uguale a 1/1000.

- Sostituendo y = 1000 abbiamo che B è uguale a 1/1000.

Con questi valori, l'integrale rimane come segue:

La soluzione è:

Utilizzando i dati iniziali:

Al momento della compensazione e abbiamo lasciato:

Quindi ce l'abbiamo a t = 2:

In conclusione, dopo 2 anni la dimensione della popolazione è di circa 597,37.

riferimenti

  1. A, R. A. (2012). Matematica 1. Università delle Ande. Consiglio delle pubblicazioni.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 integrali risolti. Università sperimentale nazionale di Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). IL CALCOLO con geometria analitica. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Calcolo integrale Hypotenuse.